(2) データに対応がある場合

医学や薬学では対応のない多標本のデータと同様、対応のある多標本のデータもしばしば登場します。 例えばある血圧降下剤の効果を調べるために5例の高血圧患者にその薬剤を継続投与し、投与前、投与1週後、投与2週後の最高血圧を測定した結果が表4.6のようになったとします。

この場合、データを変動させる要因は各人の血圧の個人差と時期の2つと考えられ、このようにデータを変動させる意味のある要因が2つある場合を二元配置分散分析といいます。 各人の血圧の個人差を誤差と考えてしまえば、これは水準数が3である一元配置分散分析になります。 しかしこれは同じ人で時期を変えて3回測定した対応のあるデータですから、各人の血圧の個人差を誤差から分離して効率の良い分析をすることができます。

通常の二元配置分散分析では一方の要因は効果を分析するのが目的ではなく誤差を減らすのが目的であり、「ブロック因子」と呼ばれています。 では誤差に相当する要因は何でしょうか？ それは、時期(または薬剤)による血圧の変動パターンが5例の人によって異なるという要因です。 平ったくいえば、血圧の下がりぐあいが人によって違っていることが誤差になるのです。 これを人(要因A)と時期(要因B)との交互作用(要因A×B)といい、二元配置分散分析における残差になります。

二元配置分散分析ではデータy_ijを次のように分解して考えます。

この基本式に対応する平方和、自由度、分散と、それらをまとめた分散分析表は次のとおりです。 _(注1)

有意水準5％として表4.6の例題について実際に計算すると、次のようになります。

以上の結果より、

血圧の自然変動が無視できるとして、医学の言葉に翻訳しますと、

となります。 もし個人差の要因を無視して残差に含め、一元配置にしてしまいますと、

となり、二元配置分散分析に比べて誤差が約3倍にもなってしまいます。 したがって、当然、検定や推定の精度は悪くなりますし、個人差に関する情報も得られません。 実は表4.6のデータは表4.1の対応のないデータを対応のあるデータにしたものですので、一元配置分散分析にした時の結果は表4.1の結果と同じになります。

F_Aが1より小さく、個人差の変動が誤差より小さい時には、それを残差に含めて一元配置分散分析にした方が検定や推定の精度は良くなります。 つまり要因Aの情報密度が誤差より薄いのですから、それを誤差にまぜてしまって誤差の情報密度を薄めるわけです。 このように対応のあるデータを対応のないデータとして扱って対応のない統計手法を適用した方が効率が良いのは、個人差や個体差による変動が誤差よりも小さい時だけです。 医学・薬学分野で扱うデータは個人差が大きいものが多いので、そのような場合はまずめったにありません。

また二元配置分散分析で要因Bの水準数が2つの時は対応のあるt検定に相当し、一元配置分散分析と同様にF値の平方根がt値に一致します。 この場合、要因Bの変動とは2時期の平均値の差に相当し、誤差(残差)である交互作用とは要因Bの変動パターンが個人によって異なっていること、すなわち2時期の差のバラツキに他ならず、したがって分散比Fはt値に相当することになります。 _(注2) (→3.3 2標本の計量値)

要因Aの水準と要因Bの水準が同じという条件下で繰り返しデータが得られれば、交互作用も誤差から分離でき、同一条件群内におけるデータのバラツキが誤差になります。 例えば多数のマウスを雄・雌に分け、さらにそれらを各々3群に分けて(つまり全部で6群に分けて)同じ3種類の薬を投与し、薬の種類による効果の差(要因A)と、性による効果の差(要因B)を同時に調べようとする時などがこれに相当します。 このような場合の解析手法を「繰り返しのある二元配置分散分析」といいます。 そしてこの方法と区別するために、今まで説明した二元配置法を「繰り返しのない二元配置分散分析」と呼ぶことがあります。 _(注3)

人間を対象とした臨床試験では、多数の患者を2群に分けて一方の群には薬剤A₁を、もう一方の群には薬剤A₂を投与し、特定の臨床評価項目を多時期にわたって観察することによって薬効を比較することがしばしばあります。 この場合、薬剤を要因A、時期を要因Bと考えますと繰り返しのある二元配置型になります。 しかし薬剤を無視しますと、このデザインは個人を要因A、時期を要因Bとした繰り返しのない二元配置型と考えることもできます。

繰り返しのある二元配置型と考えた時、同一薬剤投与群における同一時期の個人差が誤差になりますが、人間は個人差が大きいので個人差を誤差から分離した方が効率が良くなります。 そこで繰り返しのある二元配置型と繰り返しのない二元配置型を混合し、個人差を誤差から分離しつつ、要因Aを薬剤にするような特殊な手法が開発されました。 その手法を「繰り返し測定型二元配置分散分析」といい、臨床試験などでよく利用されています。 _(注4)

繰り返しのある二元配置分散分析または繰り返し測定型二元配置分散分析では、要因Aの検定と要因Bの検定、そして要因AとBの交互作用の検定を行うことができます。 今、要因Aが群に相当するものでその水準が2個あり、要因Bが時期に相当するものでその水準が2個あるとします。 この時、A₁のB₁−B₂、A₂のB₁−B₂の平均値と、3種類の検定結果との関係を模式的に表すと次のようになります。

この模式図から、要因Aの検定はA₁とA₂のグラフの高さを比較検定したものに相当し、要因Bの検定はA₁とA₂を合わせた時のB₁→B₂のグラフの変動を検定したものに相当し、交互作用の検定はA₁におけるB₁→B₂という変動パターンと、A₂におけるB₁→B₂という変動パターンを比較検定したものに相当することがわかると思います。 このため要因Aの検定のことを「レベルの検定」、交互作用の検定のことを「パターンの検定」と呼ぶことがあります。 そして要因Bの水準が2つだけの時、パターンの検定はB₁→B₂の変化量をA₁とA₂で比較検定したものになります。

したがってA₁が薬剤A₁投与群、A₂が薬剤薬剤A₂投与群、そしてB₁が薬剤投与前、B₂が薬剤投与後とすると、交互作用の検定結果が有意になれば薬剤の効果が異なることになります。 ただし初期値が変化量に影響する時は、A₁群とA₂の初期値が異なっていると公平な比較ができません。 そこでB₁におけるA₁群の平均値とA₂群の平均値を比較し、それがほぼ同じであることを確認しておく必要があります。 これはB₁において、要因Aに関する一元配置分散分析を行うことによって確認することができます。 これを「初期値の比較」といい、薬剤の効果を比較したい時には必須になります。

分散分析は要因内の各水準はそれぞれ独立であり、お互いに無相関ということを前提にしています。 ところが同じ人が連続的に測定したデータは独立ではなく、お互いに相関があると考えられます。 したがって厳密にいいますと、このようなデータに対して時期を要因Bにした二元配置分散分析を適用するのは不適切で、本来は時系列解析を適用すべきです。 時系列解析は、連続測定された多時期のデータを、お互いの相関関係を考慮して総合的に解析するために開発された手法です。 しかし残念なことに時系列解析は現在はあまり一般的ではなく、生命表解析など特殊な手法しか用いられていません。 (→2.1 データの種類と統計手法)

(注1)　2つの要因A、Bの水準数をそれぞれa、bとして、表4.6を一般化しますと次のようになります。

表4.9 二元配置分散分析の一般的データ

要因	B1	…	Bj	…	Bb	計	平均
A1	y11	…	y1j	…	y1b	T1.	m1.
:	:	…	:	…	:	:	:
Ai	yi1	…	yij	…	yib	Ti.	mi.
:	:	…	:	…	:	:	:
Aa	ya1	…	yaj	…	yab	Ta.	ma.
計	T.1	…	T.j	…	T.b	TT	−
平均	m.1	…	m.j	…	m.b	−	mT

二元配置分散分析ではデータy_ijを次のように分解して考えます。

(y_ij-μ)=α_i+β_j+ε_ij
(y_ij-m_T)=(m_i.-m_T)+(m._j-m_T)+(y_ij-y~_ij)
　　=(m_i.-m_T)+(m._j-m_T)+{y_ij-(m_i.+m._j-m_T)}
μ：総平均
α_i：要因A_iによる変動分　　β_j：要因B_jによる変動分
y~_ij=m_i.+m._j-m_T：要因A_iにおける要因B_jの理論的推定値
ε_ij：残差(A_iとB_jの交互作用)

この基本式に対応する平方和、自由度、分散は次のとおりです。

総例数：n=a・b

全体：ST=

a Σ i=1

b Σ j=1

(yij-mT)2=ΣΣyij2-n・mT2=ΣΣyij2-

TT2 ―― n

φ_T=n-1

VT=

ST ―― φT

要因A：SA=

a Σ i=1

b Σ j=1

(mi.-mT)2=

a Σ i=1

Ti.2 ――― b

-

TT2 ―― n

φ_A=a-1

VA=

SA ―― φA

E(V_A)=bσ_A²+σ_R²

σA2=	VA-VR ――― b

寄与率RA2=

SA ――― SA+SR

要因B：SB=

a Σ i=1

b Σ j=1

(m.j-mT)2=

b Σ j=1

T.j2 ――― a

-

TT2 ―― n

φ_B=b-1

VB=

SB ―― φB

E(V_B)=aσ_B²+σ_R²

σB2=	VB-VR ――― b

寄与率RB2=

SB ――― SB+SR

残差：SR=

a Σ i=1

b Σ j=1

{yij-(mi.+m.j-mT)}2

=ST-SA-SB

φ_R=n-(a+b-1)=φ_T-φ_A-φ_B

VR=

SR ―― φR

SD=√V_R
E(V_R)=σ_R²

例題について実際に計算してみましょう。

S_T=203958-201840=2118
φ_T=15-1=14

VT=

2118 ――― 14

=1480

S_A=202314-201840=474
φ_A=5-1=4

VA=

474 ―― 4

=118.5

RA2=

474 ―― 638

≒0.743(74.3％)

S_B=203320-201840=1480
φ_B=3-1=2

VB=

1480 ――― 2

=740

RB2=

1480 ――― 1644

≒0.900(90.0％)

S_R=2118-1480-474=164
φ_R=14-2-4=8

VR=

164 ―― 8

=20.5

FA=

118.5 ――― 20.5

≒5.780 (p=0.0173)＞F(4,8,0.05)=3.838

FB=

740 ――― 20.5

≒36.098 (p=0.0001)＞F(2,8,0.05)=4.459

前節(注3)のボンフェローニ型を用い、要因Bについて多重比較を行いますと次のようになります。

・投与前対投与1週後：

to=	|130-110| ――――――― √(2×20.5/5)

　　≒6.984　自由度8のt分布より p=0.0001×3=0.0003
・投与前対投与2週後：

to=	|130-108| ――――――― √(2×20.5/5)

　　≒7.683　自由度8のt分布より p=0.000006×3=0.0002
・投与1週後対投与2週後：

to=	|110-108| ――――――― √(2×20.5/5)

　　≒0.698　自由度8のt分布より p=0.5047×3=1.5141→p=1

シェッフェ型多重比較を用いると次のようになります。

・投与前対投与1週後：

to=	(130-110)2 ―――――――――― (1/5+1/5)×20.5×2

　　≒23.390 (p=0.0004)＞F(2,8,0.05)=4.459
・投与前対投与2週後：

Fo=	(130-108)2 ―――――――――― (1/5+1/5)×20.5×2

　　≒29.512 (p=0.0002)＞F(2,8,0.05)=4.459
・投与1週後対投与2週後：

Fo=	(110-108)2 ―――――――――― (1/5+1/5)×20.5×2

　　≒0.244 (p=0.7892)＞F(2,8,0.05)=4.459

(注2)　二元配置分散分析において、要因Bの水準数bを2にすると次のようになります。

ST=

a Σ i=1

2 Σ j=1

yij2-

TT2 ―― n

=

a Σ i=1

yi12+

a Σ i=1

yi22-

TT2 ―― n

φ_T=n-1

SB=

2 Σ j=1

T.j2 ――― a

-

TT2 ―― n

=

T.12 ――― a

+

T.22 ――― a

-

(T.1+T.2)2 ―――――― 2a

=	2T.12+2T.22-T.12-2T.1T.2-T.22 ――――――――――――――― 2a

=	T.12-2T.1T.2+T.22 ――――――――― 2a

=	(a・m.1-a・m.2)2 ――――――――― 2a

=m.d2・

a ― 2

φ_B=2-1=1

VB=

SB ―― φB

=

SB

S_R=S_T-S_A-S_B

=Σyi12+Σyi22-

TT2 ―― n

-Σ

T.j2 ―― a

-

TT2 ―― n

-Σ

Ti.2 ――― 2

-

TT2 ―― n

=Σyi12+Σyi22-

Σ(yi1+yi2)2 ―――――― 2

-

T.12+T.22 ――――― a

+

(T.1+T.2)2 ――――― 2a

=

Σyi12-2Σyi1yi2+Σyi22 ―――――――――――― 2

−

T.12-2T.1T.2+T.22 ――――――――― 2a

=

Σ(yi1-yi2)2 ――――――― 2

-

(Σyi1-Σyi2)2 ―――――――― 2a

=

Σdi2-(Σdi)2/a ―――――――― 2

=

Sdd ―― 2

φ_R=n-1-a

VR=

SR ―― φR

=

Sdd/2 ――― a-1

=

Vd ―― 2

FB=

VB ―― VR

=

md2・a/2 ――――― Vd/2

={

md ――――― √(Vd/a)

}2

=to2

以上のように、二元配置分散分析で時期数が2つの時は対応のあるt検定と一致します。 対応のあるt検定よりも分散分析の方がきめの細かい分析が可能ですので、対応のある2標本の場合にも本当は分散分析を適用するべきです。 3.3節表3.6のデータに二元配置分散分析を適用すると、次のように確かに対応のあるt検定の結果と一致します。 (→3.3 2標本の計量値)

表4.10 3.3節例題の分散分析表

要因	平方和SS	自由度φ	平均平方和Ms(分散V)	分散比F
人	1005	9	111.667	3.073
時期	500	1	500	13.761
残差	327	9	36.333
全体	1832	19

・要因A(人)
　F_A≒3.073 (p=0.0549)＜F(1,9,0.05)=5.117…有意水準5％で有意ではない
　R_A²≒0.755(75.5％)
・要因B(時期)
　F_B≒13.761 (p=0.0048)＞F(1,9,0.05)=5.117…有意水準5％で有意
　√(F_B)=√13.761≒3.710=t_o
　√{F(1,9,0.05)}=√5.117≒2.262=t(9,0.05)
　R_B²≒0.605(60.5％)

(注3)　繰り返しのある二元配置分散分析では、データを次のように分解して考えます。

表4.11 繰り返しのある二元配置分散分析の一般的データ

要因A	B1	…	Bj	…	Bb	計	平均
A1	y111	…	y1j1	…	y1b1	T1.1	m1.1
	:	…	:	…	:	:	:
	y11k	…	y1jk	…	y1bk	T1.k	m1.k
	:	…	:	…	:	:	:
	y11r1	…	y1jr1	…	y1br1	T1.r1	m1.r1
A1内計	T11.	…	T1j.	…	T1b.	T1..	−
A1内平均	m11.	…	m1j.	…	m1b.	−	m1..
:	:	…	:	…	:	:	:
Ai	yi11	…	yij1	…	yib1	Ti.1	mi.1
	:	…	:	…	:	:	:
	yi1k	…	yijk	…	yibk	Ti.k	mi.k
	:	…	:	…	:	:	:
	yi1ri	…	yijri	…	yibri	Ti.ri	mi.ri
Ai内計	Ti1.	…	Tij.	…	Tib.	Ti..	−
Ai内平均	mi1.	…	mij.	…	mib.	−	mi..
:	:	…	:	…	:	:	:
Aa	ya11	…	yaj1	…	yab1	Ta.1	ma.1
	:	…	:	…	:	:	:
	ya1k	…	yajk	…	yabk	Ta.k	ma.k
	:	…	:	…	:	:	:
	ya1ra	…	yajra	…	yabra	Ta.ra	ma.ra
Aa内計	Ta1.	…	Taj.	…	Tab.	Ta..	−
Aa内平均	ma1.	…	maj.	…	mab.	−	ma..
計	T.1.	…	T.j.	…	T.b.	TT	−
平均	m.1.	…	m.j.	…	m.b.	−	mT

(y_ijk-μ)=α_i+β_j+γ_ij+ε_ijk
(y_ijk-m_T)=(m_i..-m_T)+(m._j.-m_T)+(m_ij.-m~_ij.)+(y_ijk-m_ij.)
　　=(m_i..-m_T)+(m._j.-m_T)
　　　+{m_ij.-(m_i..+m._j.-m_T)}+(y_ijk-m_ij.)
μ：総平均　　α_i：要因A_iによる変動分　　β_j：要因B_jによる変動分
γ_ij：要因A_iと要因B_jの交互作用による変動分
ε_ijk：A_i・B_jカラムにおけるk番目のデータの誤差
m~_ij.=m_i..+m._j.-m_T：A_i・B_jカラムの理論的推定平均値

A_iの繰り返し数：r_i(要因Bに関して一定)

総例数：n=b(

a Σ i=1

ri)=bΣri

全体：ST=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(yijk-mT)2=ΣΣΣyijk2-

TT2 ―― n

φ_T=n-1

VT=

ST ―― φT

要因A：SA=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(mi..-mT)2=

a Σ i=1

Ti..2 ――― b・ri

-

TT2 ―― n

φ_A=a-1

VA=

SA ―― φA

寄与率RA2=

SA ――― SA+SR

E(V_A)=br_iσ_A²+σ_R²

σA2=	VA-VR ――― bri

要因B：SB=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(m.j.-mT)2=

b Σ j=1

T.j.2 ――― Σri

-

TT2 ―― n

φ_B=b-1

VB=

SB ―― φB

E(V_B)=�排_iσ_B²+σ_R²

σB2=	VB-VR ――― �排i

寄与率RB2=

SB ――― SB+SR

交互作用A×B：SAB=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(mij.-mT)2

=

a Σ i=1

b Σ j=1

Tij.2 ――― ri

−

TT2 ―― n

φ_AB=a・b-1

SAxB=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

{mij.-(mi..+m.j.-mT)}2

=SAB-SA-SB

φ_AxB=φ_AB-φ_A-φ_B=a・b-a-b+1=(a-1)(b-1)

VAxB=

SAxB ――― φAxB

E(V_AxB)=r_iσ_AxB²+σ_R²

σAxB2=

VAxB-VR ―――― ri

寄与率RAxB2=

SAxB ―――― SAxB+SR

残差：SR=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(yijk-mij.)2=ST-SAB

φ_R=φ_T-φ_AB=n-a・b

VR=

SR ―― φR

SD=√V_R
E(V_R)=σ_R²
S_T=S_AB+S_R=S_A+S_B+S_AxB+S_R

表4.12 分散分析表(ANOVA table)

要因	平方和SS	自由度φ	平均平方和Ms(分散V)	分散比F
A	SA	φA	VA	FA=VA/VR
B	SB	φB	VB	FB=VB/VR
A×B	SAxB	φAxB	VAxB	FAxB=VAxB/VR
残差	SR	φR	VR
全体	ST	φT

S_ABは要因Aの第i水準と要因Bの第j水準におけるr個のデータを、それらの平均値m_ij.ただ1つで代表させた時の全変動で、「級間平方和」と呼ばれています。 繰り返し数が1である繰り返しのない二元配置分散分析では、級間平方和は全変動の平方和になります。

交互作用の多重比較は、Scheffe型一般対比の考え方を応用して次のようになります。

Fo=	Σ(mpj.-mqj.)2-b(mp..-mq..)2 ――――――――――――――― (1/rp+1/rq)VR・φAxB

F_o≧F(φ_AxB,φ_R,α)の時有意水準100・α％で有意

交互作用が小さくてF_AxBが1より小さい時は、交互作用を残差にプールして繰り返しのない二元配置分散分析にした方が誤差が小さくなり効率が良くなります。

表4.13 交互作用を残差にプールした分散分析表(ANOVA table)

要因	平方和SS	自由度φ	平均平方和 Ms(分散V)	分散比F
A	SA	φA	VA	FA=VA/VR'
B	SB	φB	VB	FB=VB/VR'
残差	SR'=SAxB+SR	φR'=φAxB+φR	VR'
全体	ST	φT

(注4)　繰り返し測定型二元配置分散分析では、データを次のように分解して考えます。

表4.14 繰り返し測定型二元配置分散分析の一般的データ

要因A(群)	個体	時期B1	…	時期Bj	…	時期Bb	計	平均
A1	1	y111	…	y1j1	…	y1b1	T1.1	m1.1
	:	:	…	:	…	:	:	:
	k	y11k	…	y1jk	…	y1bk	T1.k	m1.k
	:	:	…	:	…	:	:	:
	r1	y11r1	…	y1jr1	…	y1br1	T1.r1	m1.r1
A1内計		T11.	…	T1j.	…	T1b.	T1..	−
A1内平均		m11.	…	m1j.	…	m1b.	−	m1..
:	:	:	…	:	…	:	:	:
Ai	1	yi11	…	yij1	…	yib1	Ti.1	mi.1
	:	:	…	:	…	:	:	:
	k	yi1k	…	yijk	…	yibk	Ti.k	mi.k
	:	:	…	:	…	:	:	:
	ri	yi1ri	…	yijri	…	yibri	Ti.ri	mi.ri
Ai内計		Ti1.	…	Tij.	…	Tib.	Ti..	−
Ai内平均		mi1.	…	mij.	…	mib.	−	mi..
:	:	:	…	:	…	:	:	:
Aa	1	ya11	…	yaj1	…	yab1	Ta.1	ma.1
	:	:	…	:	…	:	:	:
	k	ya1k	…	yajk	…	yabk	Ta.k	ma.k
	:	:	…	:	…	:	:	:
	ra	ya1ra	…	yajra	…	yabra	Ta.ra	ma.ra
Aa内計		Ta1.	…	Taj.	…	Tab.	Ta..	−
Aa内平均		ma1.	…	maj.	…	mab.	−	ma..
計		T.1.	…	T.j.	…	T.b.	TT	−
平均		m.1.	…	m.j.	…	m.b.	−	mT

(y_ijk-μ)=α_i+ε_sik+β_j+γ_ij+ε_ijk
(y_ijk-m_T)=(m_i..-m_T)+(m_i.k-m_i..)
　　　　　　　+(y~_ijk-m_i.k)+(y~~_ijk-y~_ijk)+(y_ijk-y~~_ijk)
　　=(m_i..-m_T)+(m_i.k-m_i..)+{(m_i.k+m._j.-m_T)-m_i.k}
　　　+{(m_i.k+m_ij.-m_i..)-(m_i.k+m._j.-m_T)}
　　　+{y_ijk-(m_i.k+m_ij.-m_i..)}
　　=(m_i..-m_T)+(m_i.k-m_i..)+(m._j.-m_T)
　　　+{m_ij.-(m_i..+m._j.-m_T)}+{y_ijk-(m_i.k+m_ij.-m_i..)}
μ：総平均　　α_i：群A_iによる変動分
ε_sik：群A_iにおける個体kの群内誤差
β_j：時期B_jによる変動分　　γ_ij：群A_iと時期B_jの交互作用による変動分
ε_ijk：群A_iの時期B_jにおける個体kの群内交互作用
y~_ijk=m_i.k+m._j.-m_T：群A_iにおける個体kの時期B_jの理論的推定値
y~~_ijk=m_i.k+m_ij.-m_i..：群A_iにおける個体kの時期B_jの群別理論的推定値

群A_iの個体数：r_i

全個体数=

a Σ i=1

ri=Σri

総データ数：n=bΣr_i

全体：ST=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(yijk-mT)2=ΣΣΣyijk2-

TT2 ―― n

φ_T=n-1

VT=

ST ―― φT

群A：SA=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(mi..-mT)2=

a Σ i=1

Ti..2 ――― b・ri

-

TT2 ―― n

φ_A=a-1

VA=

SA ―― φA

寄与率RA2=

SA ―――― SA+SSR

個体：Ssub=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(mi.k−mT)2=

a Σ i=1

ri Σ k=1

Ti.k2 ――― b

-

TT2 ―― n

φ_sub=Σr_i-1

Vsub=

Ssub ――― φsub

寄与率Rsub2=

Ssub ―――――― Ssub+SSRxB

個体残差：SSR=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(mi.k-mi..)2=Ssub-SA

=

a Σ i=1

ri Σ k=1

Ti.k2 ――― b

-

a Σ i=1

Ti..2 ――― b・ri

φ_SR=φ_sub-φ_A=Σr_i-a

VSR=	SSR ―― φSR

時期B：SB=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(m.j.-mT)2=

b Σ j=1

T.j.2 ――― Σri

-

TT2 ―― n

φ_B=b−1

VB=

SB ―― φB

寄与率RB2=

SB ――――― SB+SSRxB

交互作用A×B：SAB=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

(mij.-mT)2

=

a Σ i=1

b Σ j=1

Tij.2 ――― ri

-

TT2 ―― n

φ_AB=a・b-1

SAxB=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

{mij.-(mi..+m.j.-mT)}2=SAB-SA-SB

φ_AxB=φ_AB-φ_A-φ_B=a・b-a-b+1=(a-1)(b-1)

VAxB=

SAxB ――― φAxB

寄与率RAxB2=

SAxB ―――――― SAxB+SSRxB

個体残差SR×時期B：

SSRxB=

a Σ i=1

b Σ j=1

ri Σ k=1

{yijk-(mi.k+mij.-mi..)}2

　　　　=S_T-S_A-S_SR-S_B-S_AxB=S_T-S_sub-S_B-S_AxB
φ_SRxB=φ_T-φ_A-φ_SR-φ_B-φ_AxB=(n-a)(b-1)

VSRxB=

SSRxB ―――― φSRxB

SD=√V_SRxB
S_T=S_A+S_SR+S_B+S_AxB+S_SRxB=S_sub+S_B+S_AxB+S_SRxB

表4.15 分散分析表(ANOVA table)

要因	平方和SS	自由度φ	平均平方和 Ms(分散V)	分散比F
A(群)	SA	φA	VA	FA=VA/VSR
個体残差	SSR	φSR	VSR
個体	Ssub	φsub	Vsub	Fsub=Vsub/VSRxB
B(時期)	SB	φB	VB	FB=VB/VSRxB
A×B	SAxB	φAxB	VAxB	FAxB=VAxB/VSRxB
個体残差×B	SSRxB	φSRxB	VSRxB
全体	ST	φT

S_subは群を無視して個体を要因Aと考えた時の全変動で、個体差を表します。 S_AxBは群と時期との交互作用で、群ごとの時期変動パターンの違いつまり群平均の時期変動パターンの違いを表します。 S_SRxBは個体残差と時期との交互作用で、各群における個体の時期変動パターンの違い、つまり群平均の時期変動パターンと個体の時期変動パターンの違いを表します。

この分散分析表において、個体より上は個体を全変動とし、群を要因A、個体残差を誤差とした一元配置分散分析になっていて、個体より下は個体を要因A、時期を要因B、個体残差×時期Bを誤差とした二元配置分散分析になっていることがわかると思います。 つまり群の検定は対応のない検定になり、それ以外の検定は対応のある検定になるわけです。

群ごとの時期変動パターンの違いが小さくてF_AxBが1より小さい時は、群と時期との交互作用A×Bを個体残差×時期Bにプールした方が誤差が小さくなり効率が良くなります。 この場合、個体より下は個体と時期の繰り返しのない二元配置分散分析に相当します。

表4.16 交互作用を個体残差×Bにプールした分散分析表(ANOVA table)

要因	平方和SS	自由度φ	平均平方和 Ms(分散V)	分散比F
A(群)	SA	φA	VA	FA=VA/VSR
個体残差	SSR	φSR	VSR
個体	Ssub	φsub	Vsub	Fsub=Vsub/VSxB
B(時期)	SB	φB	VB	FB=VB/VSxB
個体×B	SSxB=SAxB+SSRxB	φSxB=φAxB+φSRxB	VSRxB
全体	ST	φT

また個体差が少なくてF_subが1より小さい時は、個体残差を個体残差×時期Bにプールして、一般的な繰り返しのある二元配置分散分析にした方が誤差が小さくなり効率が良くなります。

表4.17 個体残差を個体残差×Bにプールした分散分析表(ANOVA table)

要因	平方和SS	自由度φ	平均平方和 Ms(分散V)	分散比F
A(群)	SA	φA	VA	FA=VA/VR
B(時期)	SB	φB	VB	FB=VB/VR
A×B	SAxB	φAxB	VAxB	FAxB=VAxB/VR
残差	SR=SSR+SSRxB	φSRxB=φSR+φSRxB	VR
全体	ST	φT

最終更新日：2004年6月1日 　第1節 (1)へ 第2節 (1)へ

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