(注1)　m×nのχ²検定の計算式は、3.4節の(注8)で説明した2×nのχ²検定を拡張して次のようになります。

表4.27 m×n分割表

分類	B1	…	Bj	…	Bn	計
A1	x11	…	x1j	…	x1n	X1
:	:	…	:	…	:	:
Ai	xi1	…	xij	…	xin	Xi
:	:	…	:	…	:	:
Am	xm1	…	xmj	…	xmn	Xm
計	Y1	…	Yj	…	Yn	N

帰無仮説は、

または、

となり、この仮説のもとでの計算式は次のようになります。

連続修正をすると非常に繁雑な式になるため、通常、2×2の時以外は連続修正はしません。

全体の変動はAの各群とBの分類が完全に対応する時の要因Aの変動になりますから、A_iに属するX_i例が全てB_jに分類され、他のカラムは0例である時のχ_o²値になります。 ところがmとnは等しいとは限りません。 仮にm≦nとしますと、A_iのうち(n-m)個の群については0ではないカラムが2個以上存在することになります。 したがって全体の変動を表すχ_o²値をχ_T²としますと、この値は次のようになります。

AとBは対等な名義尺度ですので、どちらが小さくてもχ_T²を同じように計算することができます。 したがってmとnのうち小さい方をsとしますと、寄与率R²は次のようになります。

この値は分類Aと分類Bの関連性を表す値でもありますので、「クラメール(Cramer)の関連係数(coefficient of contingency)」と呼ばれることもあります。 (→5.3 計数値の相関)

表4.25の例題について実際に計算してみましょう。

(注2)　χ²検定における多重比較の計算式は次のとおりです。

(0) フィッシャー型(LSD(Least Significant Difference)法)

この方法は試験の計画段階で指定した特定の2群の比較だけを行う特殊な方法で、一般には用いるべきではありません。 しかし統計学の解説書に載っていたり、統計学ソフトに組み込まれていたりしますので、一応、紹介しておきます。

m×nのχ²検定の結果が有意という条件付きで、2種類以上の2群比較にフィッシャー型多重比較を用いる手法を「PLSD(Protected Least Significant Difference)法」と呼ぶことがあります。 しかしこの手法は、3群以上になると多重性の調整が不十分なものになるので使用すべきではありません。

(1) ボンフェローニ型(ダンの多重比較)

ボンフェローニの不等式を利用し、個々の2×nのχ²検定の有意確率に検定回数をかけたものを多重比較の有意確率にするだけという、極めて単純で基本的な手法です。 個々の2×nのχ²検定の代わりにフィッシャー型の多重比較の計算式を用い、それで得られた有意確率に検定回数を掛けてもかまいません。

個々の検定は独立であり、それらをORで結合して得られる結論をファミリーとしての結論にするという非常に緩い条件の手法なので、個々の検定の有意水準が小さくなって有意になりにくい反面、応用範囲が広いという特徴があります。 どのような多重比較手法を用いれば良いかわからない時とか、多重比較手法がまだ開発されていない特殊な検定について多重比較を行いたい時は、とりあえずこの手法を用いておけば良いでしょう。

(2) シェッフェ型(シェッフェのs検定)

最も汎用性が高く、したがって最も有意になりにくい手法です。 2群比較の場合はこの手法よりもボンフェローニ型の方が検定効率が高いので、普通はボンフェローニ型を用いた方が良いでしょう。

ボンフェローニ型を用いて表4.25の例題について実際に計算してみましょう。

(注3)　要因Aの水準数(例数)をa、要因Bの水準数(時期数)をb、全データ数をn(=a・b)としてコックランの検定の計算式を導いてみましょう。 多時期の2分類データは、「有」に相当する時は1、「無」に相当する時は0となるダミー変数yを用いて次のように表すことができます。

表4.28 多時期の2分類データ

要因	B1	…	Bj	…	Bb	計
A1	y11	…	y1j	…	y1b	T1.
:	:	…	:	…	:	:
Ai	yi1	…	yij	…	yib	Ti.
:	:	…	:	…	:	:
Aa	ya1	…	yaj	…	yab	Ta.
計	T.1	…	T.j	…	T.b	TT

この場合の帰無仮説は次のようになります。

この帰無仮説より、要因Bの各時期ごとの合計T._jの期待値と分散は次のようになります。

これらをもとにしてT._jを標準化すると、次のようになります。

z_jの平方を合計して自由度の修正をしたものは、近似的に自由度(b-1)のχ²分布をします。

この場合も通常は連続修正をしません。

全体の変動は、ブロックごとのデータの並びが全て一致した時の要因Bの変動と等しくなります。 例えばB₁だけが1で他は0の場合を考えますと、次のようになります。

これは要因Aの変動を取り除いた時の全変動であり、同時にその自由度でもあります。 したがって要因Bの寄与率R_B²は次のようになります。

表4.26のデータを順位が2つだけの順序分類データと考え、フリードマンの検定を適用しますと次のようになります。

となり、コックランのQ検定の計算式と一致します。 したがって要因Bの時期数が2つの時には、当然、マクネマーの検定における連続修正を加えない式に一致します。 (→4.2 多標本の計数値 (注5))

表4.26の例題について実際に計算してみましょう。

(注4)　繰り返しのある二元配置型の2分類データは、要因Aの水準数つまり群数をa、群A_iの繰り返し数つまり例数をn_i、要因Bの水準数つまり時期数をbとし、「有」に相当する時は1、「無」に相当する時は0となるダミー変数yを用いると前節(注6)の表4.22と同じ型式で表すことができます。 そして時期ごとに群と2分類データをクロス集計すると、前節(注6)の表4.23で順序数cを2つだけにした、次のような表になります。

表4.29 時期kのa×2分割表

群＼分類	0(無)	1(有)	計
A1	xk10	xk11	nk1
:	:	:	:
Ai	xki0	xki1	nki
:	:	:	:
Aa	xka0	xka1	nka
計	Xk0	Xk1	Nk

これらb個のa×2分割表に一般化拡張マンテル検定を適用すれば、群と2分類データの共通性と異質性を検定することができます。 この場合の共通性の検定は、b個のa×2分割表に共通して存在する群と2分類の関連性の有無、つまり群によって出現率に違いがあるかどうかを検定します。 この検定は、繰り返しのある二元配置分散分析の要因Aの検定に対応します。 そして異質性の検定は、群による出現率の違いが時期によって異なっているかどうかを検定します。 この検定は、繰り返しのある二元配置分散分析の交互作用の検定に対応します。

この場合、時期つまり要因Bはブロック因子になり、時期によって出現率が異なるかどうかの検定つまり要因Bの検定は行いません。 時期の検定を行いたい時は時期を要因Aに、群を要因Bにして、群ごとに時期と分類データをクロス集計してa個のb×2分割表を作成する必要があります。

群数aが2つだけの時は、一般化拡張マンテル検定の代わりに順序数cが2つだけの拡張マンテル検定を適用することになります。 しかしその場合はマンテル・ヘンツェルの検定を利用したより正確な手法があり、その手法の方がよく用いられます。 まず時期kの2×2分割表についてマンテル・ヘンツェル検定のχ_Mk²を計算すると、次のようになります。

b個の2×2分割表を総合してn_k11を正規近似すると、次のようになります。

実は拡張マンテル検定はこの検定を順序データに拡張した手法であり、順序数cが2つの時の共通性の検定はこの検定の連続修正をはずした式と一致します。 異質性の検定は次のような方法で計算することもでき、こちらの方が多少正確になります。 この手法はブレスロー・デイ(Breslow-Day)の検定と呼ばれています。

ブレスロー・デイの検定は、表内度数の合計Σx_k10、Σx_k11、Σx_k20、Σx_k21のどれかが0の時は計算できません。 そこで各表の表内度数に0がある時は、表内度数に0.5を加え、それに応じて周辺度数にも1を加えて計算します。 これは、次に説明するオッズ比を用いた検定におけるウールフの修正と同じ目的の修正です。

マンテル・ヘンツェルの検定と同じような分析を、3.4 2標本の計数値 (注7)で説明したオッズ比を用いて行うことができます。 ただしマンテル・ヘンツェルの検定よりもオッズ比の検定の方が若干ラフな検定ですから、この手法は少しラフな結果になります。 この場合も各表の表内度数に0がある時は、表内度数に0.5を加えるウールフの修正を施します。