付録

付録1　各種の確率分布

(1) 正規分布(normal distribution)

二項分布の極限として導かれたもので、実験の測定誤差など大部分のデータはそのまま、あるいは適当な変数変換により正規分布をします。統計学上最も広く応用されている基本的な分布で、平均μ、分散σ²の正規分布をN{μ,σ²}と書きます。

・正規分布の確率密度関数

平均:E(x)=μ　　分散:V(x)=σ²
歪度:√β₁=0　　尖度:β₂=3

・正規分布の確率分布関数

μ=0、σ²=1²となるように、xを次のように標準化したzを正規偏位(NED、normal deviate)と呼びます。そして、この時の正規分布を標準正規分布と呼び、N{0,1²}と書きます。

・標準正規分布の確率密度関数

・標準正規分布の確率分布関数

erf(x)は誤差関数(Error function)と呼ばれる関数であり、標準正規分布において、データが-z(=-x√2)～z(=x√2)の間に含まれる確率を表します。ただしerf(x)は奇関数のため、xが負の場合は関数値が負になります。また相補誤差関数(Complementary Error function)erfc(x)という関数も定義されていて、この関数はデータが-z～zの間に含まれない確率を表します。

ここでt=z/√2と置いて置換積分を適用すると、

・有意確率p値(両側)

片側確率はp/2とします。

対数変換した変数y=ln(x)が正規分布に従う時、変数xの従う分布を対数正規分布またはジブラ分布(Gibrat's distribution)といいます。 yの平均をμ_y、分散をσ_y²とすると、その確率密度関数と確率分布関数は次のようになります。

(-∞＜y=ln(x)＜∞、0＜x＜∞、Φ(・)は標準正規分布の確率分布関数を表す)

xの平均をμ_x、中央値をμ_x'、幾何平均をμ_x^*、分散をσ_x²、変動係数をCV_xとすると、これらのパラメーターとyのパラメーターの間には次のような関係があります。

ここで、e^xの級数展開による近似式、

より、CV_x≪1の時は次のように近似できます。

y''=log(x)と常用対数を用いた時は、次のようになるので注意が必要です。

原理的には、変動係数が一定のデータすなわち比例尺度のデータは対数正規分布に従い、標準偏差が一定のデータすなわち間隔尺度のデータは通常の正規分布に従います。

(2) χ²分布(chi-square distribution)

正規分布N{μ,σ²}に従う母集団からn個の標本変量x_iを取り出した時、そのx_iを標準化した正規偏位z_iの2乗和はχ²分布に従います。

この時、お互いに独立なz_iの個数を自由度(degree of freedom)といい、自由度nのχ²分布をχ²[n]と書きます。 μが未知の時は、標本平均で代用して次のようになります。

これは自由度[n-1]のχ²分布に従います。定義より、自由度1のχ²分布は標準正規分布の平方に一致します。

χ²の式を次のように変形すると、不偏分散Vに(n-1)/σ²を掛けた式になります。このことから、不偏分散に(n-1)/σ²を掛けたものは自由度[n-1]のχ²分布をすることがわかります。

・χ²分布の確率密度関数

ガンマ関数Γ(x)は階乗関数n!を実数にまで拡張した関数であり、次のようなものです。

・φ=1の時

f(z):標準正規分布の確率密度関数

・φ=2の時

・χ²分布の確率分布関数

Γ_x(y)は不完全ガンマ関数であり、次のようなものです。

ガンマ関数の計算

・φ：偶数の時

・φ：奇数の時

・有意確率p値(片側)

両側確率は2pとします。

(3) t分布(t distribution、Student distribution)

正規分布N{μ,σ²}に従う母集団からn個の標本変量x_iを取り出し、標本平均mを求めて、これを標準化すると次のようになります。

このzは標準正規分布N{0,1²}に従う正規偏位です。一方、zとは独立で、かつ自由度[n-1]のχ²分布に従う値χ²を用いて次のような値tを作ると、このtは自由度[n-1]のt分布に従います。

χ²分布のところで説明したように、不偏分散Vに(n-1)/σ²を掛けた値はχ²になります。そこで上式のχ²を不偏分散の式にすると、次のように標本平均mを不偏分散Vを用いて標準化した値になります。 σ²が未知の場合は、このように不偏分散を用いてmを標準化し、その値tは自由度[n-1]のt分布に従います。

t分布はn→∞の時、標準正規分布と一致します。

・t分布の確率密度関数

・φ=∞の時

f(z):標準正規分布の確率密度関数

ベータ関数Β(x,y)はガンマ関数を組み合わせた関数であり、次のようなものです。

・t分布の確率分布関数

・φ：奇数

φ=1の時：
　

φ=3の時：
　

・φ：偶数

φ=2の時：
　

・有意確率p値(両側)

・φ：奇数

φ=1の時：
　

φ=3の時：
　

φ＞3の時：
　

・φ：偶数

φ=2の時：
　

φ＞2の時：
　

片側確率はp/2とします。

(4) F分布(F distribution)

互いに独立にχ²分布に従うχ₁²[φ₁]、χ₂²[φ₂]について、それぞれを自由度で割って比を取った値は、第1自由度φ₁、第2自由度φ₂のF分布に従います。

正規分布N{μ,σ²}に従う母集団から、互いに独立に2組の標本変量x_i、x_i'を取り出し、正規偏位の2乗和を作ると、

と、それぞれχ²分布に従います。 μが未知の時は、各群の標本平均m₁とm₂で代用して次のようになります。

これらを自由度で割って比を取ると、次のように不偏分散V₁とV₂の比になります。したがって不偏分散の比は、第1自由度[n₁-1]、第2自由度[n₂-1]のF分布に従います。

F分布には次のような性質があります。

・F分布の確率密度関数

・φ₁=1の時

f(t)：t[φ₂]分布

・φ₂=∞の時

f(χ²)：χ²[φ₁]分布、ただしχ²=φ₁・F

・F分布の確率分布関数

Β_γ(x,y)は不完全ベータ関数であり、次のようなものです。

ここで、次のように置きます。

・φ₁：奇数、φ₂：奇数

φ₂=1の時：
　

φ₂=3の時：
　

φ₁=1の時：B=0

・φ₁：奇数・偶数、φ₂：偶数

・φ₁：偶数、φ₂：偶数・奇数

・有意確率p値(片側)

両側確率は2pとします。

(5) 二項分布(binominal distribution)

事象Aの起こる理論確率をπとし、n回中r回Aが起こる確率の分布を二項分布と呼びます。これは二項検定や符号検定(π=0.5とした二項検定)に用いられます。

・二項分布の確率密度関数

・π=0.5の時

nが大きい時、二項分布は正規分布N{nπ,nπ(1-π)}によって近似できます。

・二項分布の確率分布関数

・有意確率p値(片側)

とすると、

ただし、

両側確率は2pとし、2p＞1ならば1にします。

(6) 超幾何分布(hypergeometric distribution)

つぼの中に白球S個、赤球F個が入っていて、m個取り出した時、白球a個、赤球(m-a)個となる確率の分布を超幾何分布と呼びます。これは2×2分割表において、分類Aと分類Bが独立の時に、3.4 2標本の計数値の表3.18のような結果を得る確率に相当し、フィッシャーの直接確率計算法による検定に用いられます。