【算数クイズ】

(第1問)　「1」と「＋−×÷」を使った計算式

数字の「1」と四則演算記号「＋−×÷」を何個か使って計算式を作った時、その答が「1」になる計算式は何通りあるでしょうか？ただし算数ですから、式の先頭に「＋」または「−」は付けず、括弧は使わないことにします。

「1」が1個の時：「1」のみ
「1」が2個の時：「1×1=1」、「1÷1=1」の2通り
「1」が3個の時：「1×1×1=1」、「1×1÷1=1」、「1÷1×1=1」、「1÷1÷1=1」、「1+1-1=1」、「1-1+1=1」の6通り
「1」が4個の時：？
「1」が5個の時：？
(以下同様にして)
「1」がn個の時：？

(第2問)　カードの合計

1から3までの数字が書かれた3枚のカードがあったとします。この3枚のカードから0枚以上のカードを取った時、その数字の合計は次のようになります。

3枚のカード

0枚の時：0の1通り
1枚の時：カード[1]、カード[2]、カード[3]の3通り
2枚の時：[1]+[2]=3、[1]+[3]=4、[2]+[3]=5の3通り
3枚の時：[1]+[2]+[3]=6の1通り

このようにカードの数字の合計が0、1、2、4、5、6になる組み合わせは1つで、3になる組み合わせは2つあります。そしてカードの組み合わせは全部で8通りあるため、合計が3になる確率は2/8=1/4で、それ以外の合計になる確率は1/8です。

ではトランプのように1から13までの数字が書かれた13枚のカードがあった時、0枚以上のカードを取り、その合計が10になるカードの組み合わせはいくつあるでしょうか？また合計が10になる確率はいくつでしょうか？

さらにこれを一般化し、1からnまでの数字が書かれたn枚のカードがあった時、0枚以上のカードを取り、その合計がTになるカードの組み合わせはいくつあるでしょうか？また合計がTになる確率はいくつでしょうか？