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1818. 感染症数理モデル-6 投稿者:杉本典夫 [URL] 投稿日:2020/04/14 (Tue) 17:39:05
 βとγは、多くの観測データを用いて、統計学的に求める必要があります。しかし「1人の感染者が隔離(または回復または死亡)するまでの間に、何人の人を感染させたかを表す値」は、発見された感染者の行動を詳細に調べ、その人と接触した人が感染したかどうかを調べれば、ある程度はわかります。そのため、ある時点tにおいて、この方法で求めたR0のことを「効果的再生産数Rt(Effective reproduction number)」と言います。Rtは時点tごとに変化する値であり、流行が始まってから終わるまでの間のRtを平均するとR0になります。
 感染の初期段階で、I(t)の観測データを用いてポアソン回帰分析などで(β-γ)を求め、感染者の行動からRtが求められれば、次のようにしてβとγの推測値を求めることができます。

 Rt=β/γ →  β=Rt・γ
 (β-γ)=a ← I0・exp{(β-γ)t}=I0・exp(a・t)より
 (Rt・γ-γ)=(Rt-1)γ=a → γ=a/(Rt-1) → β=a+γ

 これらの推測値を使うと、感染の初期段階でS(t)、I(t)、R(t)の今後の推移を予想することができます。そしてその予想に基づいて、感染予防対策を色々と検討することができます。
 このように感染症数理モデルと疫学的調査を併用すると、合理的な感染予防対策を検討することができます。その具体的な内容は、厚労省対策推進本部クラスター対策班の押谷仁先生が作成された、「COVID-19への対策の概念」を御覧ください。(^_-)
https://www.jsph.jp/covid/files/gainen.pdf

 I(t)の近似関数の両辺を対数変換すると、次のように1次式(直線)になります。
・ln{I(t)}≒ln(I0) + (β-γ)t
 そこでI(t)を対数変換して直線回帰分析を行えば、回帰係数(β-γ)を求められると考えがちです。しかしI(t)はカウントデータ(count data)ですから、「0(感染者なし)」というデータがあり、これが重要な意味を持ちます。そのためI(t)を対数変換して、直線回帰分析を行うのは不適切です。このような場合は、ポアソン分布と最尤法を利用した、ポアソン回帰分析を適用する必要があります。ポアソン回帰分析については、僕のウェブサイトの次のページをご覧ください。(^_-)
http://www.snap-tck.com/room04/c01/stat/stat15/stat1501.html

 言わずもがなの蛇足ですが、上記の説明から、今後の感染者数の推移を予想するには、βとγを推測する必要があることがわかると思います。しかしβとγを正確に推測するには、流行が始まってから終わるまでの感染者数の推移データが必要です。感染の初期段階では、(β-γ)のラフな推測値しか得られません。でも感染者の行動を詳細に調べて、Rtを推測することができれば、初期段階でもβとγのラフな推測値が得られます。
 ところが僕を含めて一般のデータ解析屋が、Rtを推測することはほとんど不可能です。そのため、どうしても(β-γ)のラフな推測値から、今後の感染者数の動向を予測することになります。つまりRtのデータを持っていないデータ解析屋が予想した、今後の感染者数の推移予想は、僕のものも含めてσ(^^;)、あまり信用できないということです。日本でRtのデータを持っているのは、現在のところ、「新型コロナウイルス感染症対策会議」だけなのです。