の寄与率に相当します。
そのため重寄与率は目的変数の全変動(yの平方和)のうち、p個の説明変数全体によって説明される割合を表します。
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重回帰式の信頼性の目安として重寄与率(multiple coefficient of determination)R2という値があります。
これは単回帰分析における寄与率を多変量に拡張したものであり、重回帰式によって計算した目的変数yの推定値の寄与率に相当します。
そのため重寄与率は目的変数の全変動(yの平方和)のうち、p個の説明変数全体によって説明される割合を表します。
重寄与率の平方根Rは重相関係数(multiple correlation coefficient)という値になり、重相関分析の指標として用います。
これは単相関分析における相関係数を多変量に拡張したものであり、とyの相関係数に相当します。
そのため重相関係数は目的変数とp個の説明変数全体の間に因果関係を想定せず、相互に影響を及ぼし合っているという相関関係を想定した時の相関性の指標になります。
そして重寄与率または重相関係数と区別するために、普通の寄与率を単寄与率、相関係数を単相関係数と呼ぶことがあります。
なおとyは必ず同じ符号になるので、単相関係数と違って重相関係数は負の値にはなりません。
重回帰式における偏回帰係数は、他の説明変数が一定という条件で各説明変数が「1」変化した時に目的変数がいくつ変化するかを表す値です。 そのため符号が変化の方向を表し、絶対値が目的変数に与える影響の強さを表します。 ところが各説明変数の単位が異なっている時は、そのままの値で影響力の強さを比較するわけにはいきません。
例えば身長をメートル単位で測定した時とセンチメートル単位で測定した時を比較してみましょう。 メートル単位で測定した時の偏回帰係数は、身長が「1メートル」変化した時に目的変数がいくつ変化するかを表します。 それに対してセンチメートル単位で測定した時の偏回帰係数は、身長が「1センチメートル」変化した時に目的変数がいくつ変化するかを表します。 そのため前者の偏回帰係数は後者の偏回帰係数の100倍の大きさになり、見かけ上、非常に強い影響力を持つように思えてしまいます。
また説明変数の中に年齢のように年単位のものと、体重のようにkg単位のものとがあると、両者の偏回帰係数を比較することは「年齢が1歳増加した時の影響力」と「体重が1kg増加した時の影響力」を比較することになります。 これは医学的に公平な比較とは言い難いでしょう。
そこで次のように説明変数xと目的変数yの平均値を0、標準偏差を1に標準化し、各変数を単位と無関係な値にしてから重回帰式を計算してやります。 この場合、全ての変数の平均値が0になるので重回帰式の定数項も０になり、切片は0になります。
(j=1,…,p)
この時の偏回帰係数を標準偏回帰係数(standard partial regression coefficient)といいます。 この値は「他の説明変数が一定」という条件で、ある説明変数が「1標準偏差」変化した時に目的変数が標準偏差単位でどれだけ変化するかを表す値です。 標準偏回帰係数は各変数の単位とは無関係な値なので、これによって各説明変数の相対的な影響力の強さを比較することができます。 そしてこの値は説明変数が1つの時は目的変数との単相関係数に一致します。 しかし説明変数が2つ以上になると単相関係数とは一致せず、時には1以上や-1以下の値になることもあります。 (→5.1 相関係数と回帰直線)
また他の説明変数の影響を取り除いた時の目的変数と各説明変数の相関係数を偏相関係数(partial correlation coefficient)といい、次のように表します。
この値は説明変数が1つの時には単相関係数と一致し、-1〜1の間でほぼ標準偏回帰係数と比例した値になります。 ただしこの値は説明変数と目的変数の間に因果関係を想定せず、相互に影響を及ぼし合っているという相関関係を想定した時の相関性の指標です。 そのため重相関係数と合わせて重相関分析の指標として用います。 (注1)
重回帰分析はp個の説明変数がお互いに影響を及ぼし合いながら、全体として目的変数に影響を与えているという前提で理論を組み立てます。 そのためp個の説明変数が束になった時の寄与率つまり重寄与率は計算できるものの、個々の説明変数の寄与率は計算できません。 つまり説明変数全体としての影響力は評価できても、個々の説明変数が目的変数にどれ程の影響を与えているのかということは正確には評価できないのです。
そのことを理解するために図7.2.1の概念図をご覧ください。 この図の円はそれぞれの変数が持つ情報を表し、円が重なった部分は共有情報を表し、その割合が寄与率を表します。
重回帰式は目的変数yと説明変数x1、x2の共有部分の情報内容を反映し、yの全情報量に対するx1とx2共有情報量の割合が重寄与率に相当します。 そして各説明変数が単独でyと共有している情報、つまり他の説明変数との共有部分を差し引いた時のyと共有している情報内容——図7.2.1のSb1とSb2——を反映するものが偏回帰係数です。 それに対して他の説明変数を無視した時、つまり他の説明変数との共有部分も含めた時のyと共有している情報内容を反映するものが単回帰係数であり、その割合が単寄与率です。
各説明変数の寄与率については、他の説明変数との共有部分も含めた時のものつまり単寄与率と、共有部分を差し引いた時のものは求められます。 しかしどちらもその合計が重寄与率に一致せず、正しい意味での寄与率とはいえません。 各説明変数の正しい寄与率を求めるためには、説明変数間の共有情報を各説明変数に分割する必要があります。 ところがその合理的な分割法がないのです。
ただおおよその目安として、説明変数間の共有情報を各々が単独で目的変数と共有している割合で比例配分し、それと単独共有情報との和を説明変数の寄与率にしてしまう方法が考えられます。 説明変数と目的変数との単独共有情報量は、数学的には説明変数の偏回帰平方和Sbjになります。 そこで次のように重寄与率をSbjに比例して分配したものを各説明変数の寄与率と考えしまうわけです。
これは図7.2.1でいえば、3つの円が重なった部分をSb1とSb2の割合に応じて各説明変数に比例配分することに相当します。 もちろんこれは数学的には正しい方法でありませんが、おおよその目安として用いるのならかまわないでしょう。 (→7.3 変数の選択)
表6.1.1のデータに重回帰分析を適用すると、次のような結果になります。
= -13.2524+0.0612x1
= 0.4113+0.0081x2 = -18.5014+0.0916x1-0.0115x2まず重寄与率から見ていきましょう。 重寄与率が81.4％ですから重症度の変動のうち約81％がTCとTGの変動によって説明される、つまり重症度のほぼ81％はTCとTGの値に基づいて判定されていると言えます。 残りの19％については判定者の判定誤差によるものか、もしくは判定規準が直線的ではなく、何らかの非直線的な要素——数学的には非線形といいます——によるものと考えられます。 非直線的な要素とは、例えばTCやTGの値がある値以下なら全て正常と判定し、ある値以上なら値とほぼ比例して重症度を判定する、といったことです。
また、この例題ではTCとTGの2項目だけで重症度を判定したことになっています。 しかし実際のデータではどの項目が評価項目かはっきりせず、意味のある評価項目が説明変数に入っていなかったり、数字としては評価しにくい感覚的な情報が判定の参考になっていたりすることがあります。 するとそのような要素も残りの19％に含まれることになります。
重寄与率が低い時は重要な評価項目が説明変数からもれていないかどうか、各評価項目と目的変数の関係が直線的かどうか、もう一度チェックし直す必要があります。 これは各評価項目と目的変数との散布図をじっくり眺め、その単相関係数または単回帰係数を丹念に調べることによって行います。 そして重要な評価項目がもれていた時は、それを含めて計算し直します。 また非直線的な関係の項目があった時は、変数変換(ただし科学的に妥当な変換)などをして直線関係に近づけてから計算し直します。 もしそういった原因が見つからない時は個々の症例の概括評価を吟味し直す必要があるでしょう。
この例では重寄与率が81％もあるので、誤差のかなり少ない、重回帰モデルを当てはめやすい判定を行っていることがわかります。 ただし重回帰分析では説明変数が多いほど目的変数を説明する要因が多く、必然的に重寄与率は高くなります。 そのため重寄与率だけで重回帰式の信頼性を評価するのは危険です。
重回帰式は例数が変数の数以上なければ計算することができず、例数と変数の数が等しい時はどんなデータでも重寄与率が100％になります。 これは単回帰分析において、例数つまりプロット数が2つ以上なければ回帰直線を引くことができず、プロット数が2つだけの時はどちらのプロットも必ず直線上に乗り、寄与率が100％になるのと全く同じ事情です。 そして例数が少ない時は1つのデータが結果に与える影響が大きく、データがちょっと変化しただけで結果がコロコロ変わってしまいます。 そのためいくら重寄与率が高くても、安定した信頼のおける結果ではなくなってしまうのです。
一般に医学・薬学分野におけるデータはバラツキが大きいので、信頼性の高い結果を得るには変数1つについて10個以上のデータが必要と考えるべきでしょう。 つまり1つのデータが結果に与える影響を10％以下にし、データが少しくらい変化しても結果が大きく変化しないようにするわけです。 この基準に照らすと、表6.1のデータは変数が3つあるので本当は30例以上の例数が必要です。
この基準は多変量解析に限ったことではなく、単変量解析でも全く同じように当てはまります。 ただし単変量解析の場合は変数が1つか2つであり、せいぜい10例か20例以上あれば信頼のおける結果が得られます。 そのため例数の少なさが問題になることは多変量解析ほど多くありません。 (注2)
次に重回帰式を見てみましょう。 この式の意味するところは、まず-18.5014と無条件に定数のゲタを履き(負の値なので「ゲタを履く」というより「穴を掘る」というべきでしょうか？)、次にTCの値に偏回帰係数0.0916をかけ、TGの値に偏回帰係数-0.0115をかけ、それらの合計を重症度推定値にするということです。 例えば表6.1の5番目の症例はTCが250、TGが200ですから、次のように重症度推定値は約2.1になります。 そして5番目の症例の実際の重症度は3なので、回帰誤差は約0.9です。 この程度の回帰誤差なら、まあ当たらずとも遠からずといったところでしょう。
= -18.5014 + 0.0916×250 - 0.0115×200 = 2.09856 = 3 - 2.09856 = 0.90144
こうして計算した重症度推定値と実際の重症度を散布図にプロットすることによって、重症度推定値と実際の重症度が近似しているかどうか(適合度)と、説明変数と目的変数の関係が直線的かどうか(直線性)をチェックすることができます。 またこの場合は重症度の平均的な判定規準から大きく外れる症例をチェックすることができ、臨床試験における問題症例のチェックにも利用できます。
TCと重症度の単回帰式ではx1(TC)の回帰係数は0.0612です。 それに対して重回帰式のx1(TC)の偏回帰係数は0.0916であり、回帰係数よりもわずかに大きくなっています。 これはTCとTGの間に0.753の相関があり、その相関係数に基づいてTCからTGの影響を取り除いたからです。 このことをグラフ表示するには、私が考案した偏回帰直線(patial regression line)と偏回帰プロット(partial regression plot)を用いると便利です。
偏回帰直線は、重回帰式において、特定の説明変数以外の説明変数に任意の値を代入し、特定の説明変数とその偏回帰係数だけを用いて記述した偏回帰式が表す直線です。 例えば例題の重回帰式において、x1(TC)を特定の説明変数とし、x2(TG)に平均値209を代入すると次のようになります。
= -18.5014 + 0.0916x1 - 0.0115×209 = -20.9049 + 0.0916x1
これがx1(TC)と重症度の偏回帰式であり、これをグラフ化した偏回帰直線が図7.2.4の赤色の直線です。 それに対して青色の直線はTCと重症度の単回帰直線です。 2本の直線を比べると、単回帰式における回帰係数と重回帰式における偏回帰係数の違いがよくわかると思います。
また図7.2.4の青色のプロットは表6.1.1のTCと重症度をプロットしたものです。 例えば5番目の症例はTCが250で重症度が3ですから、赤色のプロットNo.5(250, 2.89654)のほんの少し上にある青色のプロット(250, 3)になります。 そしてこの症例について、TCと重症度の単回帰式から重症度推定値を求めると次のように約2になります。
= -13.2524 + 0.0612×250 = 2.0476
さらに5番目の症例のTGは200ですから、重回帰式から重症度推定値を求めると前述のように約2.1になり、実際の重症度3にほんの少し近づきます。 これがTGも説明変数に入れた重回帰分析の効果です。 さらに重回帰式を利用すると、この症例のTGが任意の値――例えば平均値である209――だったら重症度はいくつになるか、つまりTGの値で補正した重症度を次のようにして求めることができます。
= -18.5014 + 0.0916x1 - 0.0115×209 = -20.9049 + 0.0916×250 = 1.9951 ←偏回帰式から求めた重症度推定値 + ε = 1.9951 + 0.90144 = 2.89654 ←重症度推定値に回帰誤差を足した重症度補正値
この重症度補正値をプロットしたものが図7.2.4の赤色のプロットNo.5(250, 2.89654)です。 このプロットは偏回帰直線に対応するプロットなので偏回帰プロットと呼ぶことにします。 それに対して単回帰直線に対応する普通のプロット(青色のプロット)を、便宜的に単回帰プロットと呼ぶことにします。
図7.2.4の偏回帰直線は、次に説明する図7.2.3の見取り図において、重回帰式が表す平面とTG=209の時のTC-重症度平面が交わる直線になります。 そして偏回帰プロットは、重回帰式が表す平面に沿って――つまり重回帰式から求めた重症度推定値と実際の重症度の回帰誤差の値を変えずに――各プロットをTG=209の時のTC-重症度平面に射影したプロットになります。 それに対して普通の単回帰プロットは各プロットをTC-重症度平面に単純に正射影したプロットであり、TGの値とは無関係に同じプロットになります。
そして単回帰プロットについて単回帰分析を行うと単回帰直線になるのと同様に、偏回帰プロットについて単回帰分析を行うと偏回帰直線になります。 このことから偏回帰係数は他の説明変数を全て一定の値に固定した重回帰式と回帰誤差によって目的変数の値を補正した時の、ある説明変数と補正後の目的変数の回帰係数に相当することがわかると思います。
また単回帰分析と同様に、重回帰分析でも信頼限界と許容限界と予測限界を求めることができます。 そして偏回帰直線と偏回帰プロットを用いると、それらが表す曲線をグラフ化することができます。 図7.2.4の青色の破線は単回直線の95％予測限界であり、赤色の破線は偏回帰直線の95％予測限界です。 理論的に95％予測限界内には全プロットの約95％が含まれるので、これを描くと外れ値をチェックする時に便利です。 (注3)
重回帰分析は多次元になるので結果のグラフ化が難しく、致し方なくグラフだけは単回帰直線と単回帰プロットを描くことがよくあると思います。 でも偏回帰直線と偏回帰プロットを用いれば重回帰分析の結果をわかりやすくグラフ化できるので、是非、試してみてください。
ところで少々問題になるのは、TGと重症度の単相関係数は正の値であるにもかかわらず偏回帰係数は負の値であるということです。 これは一体どういうことなのでしょうか？ 次の図を見ながら偏回帰係数の持つ意味をもう一度じっくりと考えてみましょう。
図7.2.3の左に示した3次元プロット——これは第1節の図7.1.1の見取り図と同じものです——において、重回帰式が表すものは座標軸と斜めに交わる平面(半透明な灰色で描かれた平面)になります。 重回帰分析は単回帰分析を多次元に拡張した手法ですから、単回帰分析における回帰直線が重回帰平面——4次元以上の時は超平面といいます——に拡張されるわけです。 この重回帰平面は、各プロットから平面までの垂直距離(重症度軸に平行な方向の距離)の合計が最小になるような平面です。
一方、TC−重症度平面はTGの値を0に固定した時のTCと重症度の関係を表す平面であり、TG−重症度平面はTCの値を0に固定した時のTGと重症度の関係を表す平面です。 そのため重回帰平面がTC-重症度平面と交わる直線は、TGの値を0に固定した時のTCと重症度の関係を表す偏回帰直線に相当します。 また重回帰平面がTG-重症度平面と交わる直線は、TCの値を0に固定した時のTGと重症度の関係を表す偏回帰直線に相当します。 そしてそれぞれの偏回帰直線の傾きはTCの偏回帰係数とTGの偏回帰係数に相当します。
もう少し具体的に見てみましょう。 図7.2.3の右に示したTGと重症度の散布図において、プロットは全体としては右上りなっています。 これはTGと重症度の間に正の相関関係(実際には因果関係)があることを表しています。 ところがTCが同じ値であるプロットを破線で結んでみると、意外なことにそれらは右下がりの傾向を持っています。 これはTCが同じ値の時はTGが高いほど重症度を低く判定していることを表しています。
これが偏回帰係数を負の値にした原因であり、説明変数間の相関が高い時はたまにこのような現象が起きます。 このように説明変数間の相関が高い時、偏回帰係数の信頼性が低くなってしまう現象のことを多重共線性(multicollinearity、マルチコ)または共線性(collinearity)といいます。 多重共線性があると往々にして見かけ上は非合理な解析結果になり、結果の解釈に困る時があります。 そのため重回帰分析だけでなく、多変量解析ではこの多重共線性がしばしば問題になります。 (注4)
では実際にはTGは重症度に対してどのような影響を与えているのか、つまり重症度を判定する時にTGの値をどのように考慮しているのでしょうか？ これはなかなか難しい問題であり、例えば次のような解釈が考えられます。
1番目の解釈については、重回帰式を次のように変形するとよくわかると思います。
= -18.5014 + 0.0916x1 - 0.0115x2 = -18.5014 + (0.0801+0.0115)x1 - 0.0115x2 = -18.5014 + 0.0801×TC + 0.0115×(TC-TG)
この重回帰式は「TCと(TC-TG)が目的変数に正の影響を与えていて、その影響の強さはTCの方が強い」と解釈できます。 (TC-TG)は脂質異常症のタイプが高コレステロール血症型か、高トリグリセリド血症型かを表す指標と解釈することができます。 そしてTCの値がほぼ同じなら、脂質異常症のタイプが高コレステロール血症型になるほど重症度を高く判定していた——あるいは判定者が意識していなかったとしても、結果としてそのように判定していた——としたら、TCと(TC-TG)の偏回帰係数がどちらも正になっても不思議ではありません。
これは医学的に合理的な解釈であり、矛盾はありません。 そしてこのことから、TGの代わりに(TC-TG)または脂質異常症のタイプを説明変数に入れて再解析すれば多重共線性は発生せず、医学的に妥当な結果が得られることがわかります。
これと似たことは血圧でもよく起こります。 収縮期血圧と拡張期血圧を同時に説明変数に入れると、目的変数との単相関係数はどちらも正であるにもかかわらず、拡張期血圧の偏回帰係数が負になることがあります。 これは実は(収縮期血圧−拡張期血圧)つまり脈圧が目的変数に影響を与えているのであり、拡張期血圧の偏回帰係数の符号が負になったのは脈圧を表していると解釈することができます。 このような時は拡張期血圧の代わりに脈圧を入れて解析すれば多重共線性は発生せず、医学的に妥当な結果が得られます。
医学分野ではTCとTGのように同じような目的の臨床検査項目が複数あり、そのどれもが特定の疾患の有無や重症度を反映しているものの、それぞれ性質が微妙に異なり、その違いを利用して特定の疾患のタイプを診断することがよくあります。 そのためそれらの複数の臨床検査項目を同時に説明変数に入れると、それぞれ単独では目的変数と正に相関しているものの、微妙な性質の違いを反映して偏回帰係数が正になったり負になったりすることがあります。 これは臨床現場で実際に行われている診断方法を反映した結果であり、決して非合理ではなく、むしろ合理的な結果です。
多重共線性は、お互いに相関の高い説明変数があると起きやすい現象です。 同じような目的の臨床検査項目はお互いに相関が高く、しかも同じ因子の異なった面を反映していることが多いので、それらの差を合理的に解釈できる可能性は高いと思います。
このように上記の4種類の解釈の中のどれが最も適切かということは、本来は数学ではなく科学的な知識に基づいて考察すべきです。 ただしその際、標準偏回帰係数や寄与率が大きなヒントになります。
| 項目 | 偏回帰係数 | 標準偏回帰係数 | 偏回帰平方和 | 寄与率の目安 | 単寄与率 |
|---|---|---|---|---|---|
| TC | 0.0916 | 1.239 | 11.239 | 0.681 | 0.684 |
| TG | -0.0115 | -0.549 | 2.191 | 0.133 | 0.149 |
上の表を見ると、TCの標準偏回帰係数はTGの標準偏回帰係数の2倍ほどあり、そのおおよその寄与率(寄与率の目安)は5倍ほどあります。 そしてTGの寄与率は約13％とあまり大きくないので、1番または3番または4番の解釈が正しい可能性が高くなります。 そして1番と3番が医学的にあまり考えられないことだとしたら、4番の可能性が高くなります。
実は、このデータは1番の判定規準に基づいて作為的に作ったものです。 実際のデータでは強い相関を持つ説明変数同士が単独で変化することはあまりなく、それらがひとまとまりになって変化しながら重症度に影響を与えていることが多いでしょう。 そして脈圧のように説明変数の差に科学的な意義があり、それが目的変数に影響を与えている時も大いに有り得ると思います。
したがってこんな重回帰分析結果になった時は、説明変数の差に科学的な意義があるかどうか、そしてそれが目的変数に影響を与えている可能性があるかどうか検討してみましょう。 そしてその可能性が十分に考えられるようなら、説明変数の差を用いて重回帰分析をやり直すのが賢明です。 「説明変数の組み合わせが悪かったので多重共線性が起きてしまった！」と思考停止し、例えば拡張期血圧やTGを説明変数から除外して再解析してしまうと、「脂質異常症のタイプが目的変数に影響している」とか「脈圧が目的変数に影響している」という事実は発見できません。
説明変数の差に科学的意義が見い出せない時は、それらの説明変数が1つのグループとして全体的に重症度に正の影響を与えており、詳細に数学的な形式で表せば重回帰式のようになる、と大雑把にとらえておくのが良いでしょう。 そして偏回帰係数の符号が逆転することが科学的に解釈困難な現象なら、それはデータの誤差による可能性が高いとしておくのが良いでしょう。
またそのような時は相関が高い項目を同時に説明変数に組み込まず、寄与率が最も大きい項目だけに絞って再計算するという方法もあります。 相関の高い項目は同じような情報を持っているので、どれか1つだけを説明変数に入れれば十分です。 沢山の説明変数を組み込んで結果の解釈が難しい複雑なモデルにするよりも、結果が解釈しやすい単純なモデルにした方が何かと便利です。 ただしこれは解析結果をどうしても合理的に解釈できない時の最後の手段です。
ここで重回帰分析結果を評価する時の注意点をまとめておきましょう。
以上の他にもう1つ気をつけなければならない点は、多変量解析では全ての項目が揃っている例だけが解析の対象になり、1項目でも欠測値のあるものは解析から除外されるということです。
医学・薬学分野で行われる試験は、他の分野以上に欠測値が発生しやすいものです。 特に臨床試験では副作用や改善・悪化による脱落例があるので、いわば宿命的に欠測値が発生します。 そのため非常に沢山の症例を集めたつもりでも、実際に多変量解析に利用できるものはその一部になってしまうということが往々にして起こります。
また臨床試験では実施の容易性を考慮して、観察項目が多い時はそれらを必須観察項目と選択観察項目に分けることがあります。 その場合、選択観察項目は当然のことながら欠測値が多くなります。 そしてその結果、選択観察項目に関しては不確実な解析しかできない上に、多変量解析の対象にすることができず、結局、観察しただけ無駄になってしまうということがよくあります。 行きがけの駄賃にあれも見てやろう、これも調べてやろうということはやめて、試験の目的を明確にし、必要最少限の項目だけを確実に観察するようにしましょう。
偏相関係数は少々ややこしいので第3節の(注1)で説明することにします。
しかしこの基準では、例えば変数の数が2つの時は4例以上あれば良いことになり、変数の数が少ない時はかなり甘い基準になってしまいます。 そこで「例数は変数の数の10倍以上必要」という基準と組み合わせて、次のような基準が現実的なものとして考えられます。 第1章第8節の(注1)で説明した多変量解析における必要例数の条件はこの基準に基づいたものです。
：残差平方和
φR = n-p-1：残差自由度
：残差分散
[Ｘ'Ｘ]：単純積和行列
ｘ' = [1 x1 … xj … xp]
説明変数が1つの場合について計算すると次のようになります。 これらの式は第5章で紹介した単回帰分析の信頼限界、許容限界、予測限界と同じ式です。 (→5.5 各種手法の相互関係 (注3))
重み付け重回帰モデルでも、上記と同様にして√w・yの信頼限界と許容限界と予測限界を求めることができます。 しかし回帰式と信頼限界などをグラフ表示する時は、√w・yと√w・xではなくyとxのグラフを描きたいと思います。 そこで√w・yの信頼限界と許容限界と予測限界をyのそれらに変換すると次のようになります。
yの推定値：
ｘ' = [1 x1 … xj … xp]
多重共線性が起きているかどうか判断するための指標として次のようなものがあります。
：許容度(tolerance)
：説明変数xjと他の説明変数の重相関係数
：条件指数(condition index)
λmax：p次正方行列の最大固有値
λj：p次正方行列のj番目の固有値第1節の(注1)で説明したように1次元の[Ｘ'Ｘ]は例数nになり、その逆行列[Ｘ'Ｘ]-1は標本平均値を求める時の1/n=n-1であると同時に、標本平均値の分散(σ2・n-1)におけるσ2に掛ける係数でもあります。 そのためこれを多次元に拡張した[Ｘ'Ｘ]-1は標本偏回帰係数ベクトルｂの分散・共分散行列におけるσ2に掛ける係数行列になり、その対角要素ajj(-1)はbjの分散(σ2・ajj(-1))におけるσ2に掛ける係数になります。
このことからajj(-1)が大きいと標本偏回帰係数bjの分散を大きくし、母偏回帰係数βjを推定する時の推測誤差が大きくなることがわかります。 そして相関係数行列Ｒは[Ｘ'Ｘ]のp次正方行列部分を規準化した行列に相当します。 そのためＲの逆行列の対角要素rjjが分散拡大係数(VIF)と呼ばれているのです。 多重共線性が高いとrjjが大きくなり、ajj(-1)も大きくなって、母偏回帰係数推定値の精度が低くなってしまいます。
表6.1.1の例題について実際に計算すると次のようになります。
多重共線性があると母偏回帰係数推定値の精度が低くなるので数学者は嫌います。 しかし偏回帰係数を実質科学的に合理的に解釈できるようなら、むやみに嫌う必要はありません。
第3節へ
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