統計学入門−第16章

医学・薬学分野で扱うデータは年齢、身長、体重などのように値の単位が異なるのが普通です。その場合、主成分の解釈が非常に難しくなります。例えば主成分スコアが「z=10+5×年齢+0.1×身長+3×体重」という式で表されるとしたら、この主成分を医学的に解釈するのは困難です。そこでこのような時は各項目を標準化——平均値を引いて標準偏差で割る——し、単位とは無関係な値にしてから主成分分析を適用するという方法が考えられます。表16.1.1のデータにその方法で主成分分析を適用すると次のような結果になります。 _(注1)

○第1主成分
固有値：2.87553(寄与率=0.575107)　　α係数=0.815298
標準化された主成分スコア：z_1i=-8.1083152 + 0.0332681x_i1 + 0.0168560x_i2 + 0.0350442x_i3 + 0.0243501x_i4 + 0.0348603x_i5
○第2主成分
固有値：1.19402(寄与率=0.238804)　　α係数=0.205046
標準化された主成分スコア：z_2i=0.9154987 - 0.0290948x_i1 + 0.0291276x_i2 - 0.0055649x_i3 + 0.0293174x_i4 - 0.0319942x_i5
x_i1、x_i2、x_i3、x_i4、x_i5：i番目の生徒の国語、数学、英語、理科、社会の点数

項目を標準化した時は主成分スコアも標準化した方が解釈しやすいため、表16.3.1の主成分スコアは平均値が0で標準偏差が1になるように調整してあります。そのため図16.2.1のプロットが楕円状に分布しているのに対して、図16.3.1のプロットは円状に分布しています。

表16.3.1 標準化された主成分スコア
生徒ID	第1主成分スコア	第2主成分スコア
1	1.50852	0.0286941
2	0.323946	2.04642
3	-0.857434	-0.659203
4	-1.86021	0.284279
5	0.197482	-1.6273
6	-0.00536565	0.6756
7	0.817808	-1.77336
8	0.69618	0.269094
9	-0.175404	0.752222
10	-1.40767	-0.278606
11	-1.01288	-0.570946
12	-1.19311	-0.489669
13	0.0707959	0.215057
14	2.07235	1.03995
15	0.783459	-0.0941394
16	-0.101493	0.539637
17	-0.587323	1.61454
18	-0.29177	0.227941
19	1.17942	-1.45927
20	-0.157293	-0.740942
平均値	0	0

このデータの場合、5個の項目は値の単位が全て同じですから、これらの結果は前節までの結果とあまり変わりません。ただし表16.3.2の第2主成分の主成分負荷量を見ると符号が逆転しています。そのため図16.2.1と図16.3.1を見比べると、図16.3.1ではプロットが上下反転していることがわかります。したがってこの場合は第2主成分スコアが正なら「理科系」であり、負なら「文化系」と解釈することになります。

表16.3.2 主成分負荷量と寄与率
変数	第1主成分	第2主成分	寄与率
国語	0.787520	-0.443808	0.817153
数学	0.618605	0.688825	0.857152
英語	0.866601	-0.088676	0.758860
理科	0.696682	0.540511	0.777518
社会	0.797692	-0.471761	0.858872

(注1)　各項目を標準化すると共分散行列が相関行列になります。そのためこの時の主成分分析は、共分散行列の代わりに相関行列の固有値と固有ベクトルを求めることに帰着します。

第1主成分の固有値と固有ベクトル：[Ｒ - λＩ_n]=０の固有値と固有ベクトル
第2主成分の固有値と固有ベクトル：[Ｒ - λＩ_n]ａ=０の固有値と固有ベクトル
以下同様

表16.1.1のデータについて実際に計算すると次のようになります。

x₁〜x₅の分散合計=tr(Ｒ)=5
(1) Ｒの最大固有値とその固有ベクトルをベキ乗法によって求める
第1固有値：λ₁=2.87553　(寄与率=2.87553/5=0.575107)
固有ベクトル：

※主成分スコアを標準化するために変数を固有値λ₁で割り、さらにその時の主成分の平均値を引く
主成分の平均値：

主成分スコア：z_1i=-4.7815789 + 0.0196187x_i1 + 0.0099402x_i2 + 0.0206660x_i3 + 0.0143596x_i4 + 0.0205575x_i5
因子負荷量：

(2) 次の固有値と固有ベクトルをベキ乗法によって求める
Ｒの更新：

第2固有値：λ₂=1.19402　(寄与率=1.19402/5=0.238804　累積寄与率=0.813911)
固有ベクトル：

主成分の平均値：

主成分スコア：z_2i=0.8378221 - 0.0266263x_i1 + 0.0266562x_i2 - 0.0050927x_i3 + 0.0268299x_i4 - 0.0292796x_i5
因子負荷量：

第2主成分までの累積寄与率が80％以上になったので、これで主成分の抽出を終了します。なおこのように相関行列から主成分を抽出した時は、「固有値が1以上の主成分を抽出する」という抽出条件を用いる時もあります。

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16.3 特殊な主成分分析

(1) 各項目の単位が異なる場合