(注1)　表3.2.3のデータを一般化すると次のようになります。

母集団における「有」の出現率をπとすると、無作為抽出したn個のデータが独立なら、上表のような結果を得る確率p_xと度数xの確率密度関数f(x)と確率分布関数F(x)は次のようになります。

　　

これは二項式を展開した次のような式において、a=π、b=1-πと置いたものに対応しています。 そのためf(x)は二項分布と呼ばれ、B(x;n,π)と書かれます。

π=0.5の時、f(x)は次のように簡単になり、図3.2.7のような左右対称の分布になります。 (→付録1　各種の確率分布)

二項分布を利用して検定を行う場合、出現率に関する科学的な許容範囲をδとすると帰無仮説と対立仮説は次のようになります。

二項検定は本来は片側検定用ですから、上記の対立仮説を検定するためには両側検定を行う必要があります。 そこで有意水準をαとすると、2種類の対立仮説に対応して分布の両側に棄却域を設定し、それぞれ確率をα/2ずつ割り振ります。 そして次のような条件を満足する度数x_L、x_Uまでを棄却域にします。

　　

この時、二項分布は離散分布で、しかも左右対称とは限らないので棄却域の面積つまり合計確率がαにほぼ一致するとは限りません。 例えば下側棄却域の合計確率は0に近いのに対して、上側棄却域の合計確率はほぼα/2であるということが起こり得ます。 そんな時は、下側棄却域の確率と上側棄却域の確率の合計がほぼαになるまで片方の棄却域を広げても良いという考え方があります。

しかし両側検定は有意水準α/2の片側検定を分布の両側で1回ずつ行う検定ですから、この考え方は間違いです。 そのため有意確率p値を利用した二項検定は、次のように片側検定の有意確率を2倍するという方法で行います。 このことは第4節で説明するフィッシャーの正確検定と同じであり、詳しい説明は第1章第6節の(注3)を参照してください。 (→1.6 統計的仮説検定の考え方 (注3)、3.4 2標本の計数値 (注2))

実験結果の度数xが分布の下側(x ＜ nπ₀)の時：→ p = 2 p_L (2 p_L ＞ 1 なら p = 1にする)
実験結果の度数xが分布の上側(x ＞ nπ₀)の時：→ p = 2 p_U (2 p_U ＞ 1 なら p = 1にする)
p ＜ αの時、有意水準100α％で有意
※片側検定の時はp_Lまたはp_Uをそのままpにして検定する。

表3.2.3のデータついて実際に計算してみましょう。

x = 10 ＞ 10×0.5 = 5 より分布の上側：
p = 2×0.000977 ≒ 0.0020 ＜ 0.05 → 標本度数10が上側棄却域に入っている＝有意水準5％で有意

推定は二項分布とベータ分布(β distribution)とF分布(F distribution)の関係を利用して行います。 二項分布は離散分布なので信頼区間を正確に求められません。 そこで二項分布を実数にまで拡張したベータ分布を利用します。 ベータ分布は二項分布の階乗関数を実数に拡張してガンマ関数にし、変数を度数から出現率にした分布であり、度数xとyを固定した時の出現率πの分布に相当します。 さらにベータ分布は寄与率の分布でもあるので、寄与率と分散比の変換式を利用してF分布で表すことができます。 (→第5章　相関分析と回帰分析 (注4)、付録1　各種の確率分布)

○二項分布とベータ分布とF分布の関係

　(0 ≦ t ≦ 1、m₁,m₂ ＞ 0)
m₁ = r+1：F(r)が累積する度数の個数 　m₂ = n-r：F(r)が累積しない度数の個数
φ₁ = 2m₁　φ₂ = 2m₂
：寄与率
：分散比F → 寄与率t(出現率π)の変換式
：寄与率t(出現率π) → 分散比Fの変換式
V₁ = V_A：自由度φ₁のχ²分布に従う値(要因Aの分散)
V₂ = V_R：自由度φ₂のχ²分布に従う値(残差分散) 　　R_A²：要因Aの寄与率
f(r)：変数r(度数)、全例数nの二項分布の確率密度関数　　F(r)：f(r)の確率分布関数
f(t;m₁,m₂)：変数t(π)、第1自由度m₁、第2自由度m₂のベータ分布の確率密度関数
f(F;φ₁,φ₂)：変数F、第1自由度φ₁、第2自由度φ₂のF分布の確率密度関数
F(F;φ₁,φ₂)：f(F;φ₁,φ₂)の確率分布関数
○πの100(1-α)％信頼区間
・上限
二項分布の下側確率：φ₁ = 2m₁ = 2(x+1)、φ₂ = 2m₂ = 2yとして

※通常のF分布表には上側確率が(1-α/2)になる時の値がF(φ₁,φ₂,1-α/2)として記載されている。 そのため上記のF分布のφ₁とφ₂を入れ替え、分散比Fを逆数にした1/Fを信頼区間の計算に用いる。
∴ 　(度数=nπ_U)
F(φ₁,φ₂,1-α/2)：第1自由度φ₁=2y、第2自由度φ₂=2(x+1)のF分布における100(1-α/2)％点
※度数は四捨五入によって整数化する
・下限
二項分布の上側確率：φ₁ = 2m₁ = 2x、φ₂ = 2m₂ = 2(y+1)として

※上記のF分布のφ₁とφ₂を入れ替え、分散比Fを逆数にした1/Fを信頼区間の計算に用いる。
∴ 　(度数 = nπ_L)
　F(φ₁,φ₂,α/2)：第1自由度φ₁ = 2(y+1)、第2自由度φ₂ = 2xのF分布における100α/2％点
※度数は四捨五入によって整数化する

この信頼区間をクロッパー・ピアソン(Clopper-Pearson)の正確信頼区間といいます。 (注2)で説明するように二項分布は正規分布で近似でき、その近似正規分布を利用して信頼区間を求めることもできます。 しかしそうして求めた信頼区間よりも、上記のようにF分布を利用して求めた信頼区間の方が正確です。 そのため通常はクロッパー・ピアソンの正確信頼区間を用います。

表3.2.3のデータについて実際に計算してみましょう。

πの95％信頼区間
下限：φ₁ = 2×1 = 2、φ₂ = 2×10 = 20、F(2,20,0.025) = 4.46126 → (度数 = 7)
上限：φ₁ = 0、φ₂ = 2×11 = 22、F(0,22,0.975) = 0 → (度数 = 10)

表3.2.3は極端なデータなので、次のようなデータを用いて信頼区間をグラフにしてみましょう。

○クロッパー・ピアソン法によるπの95％信頼区間
　下限：φ₁ = 2×8 = 16、φ₂ = 2×3 = 6、F(16,6,0.025) = 5.24386 → (度数 = 1)
　上限：φ₁ = 2×7 = 14、φ₂ = 2×4 = 8、F(14,8,0.975) = 0.304387 → (度数 = 7)
　※この手法ではπの下限はベータ分布f(t;3,8)で求め、上限はベータ分布f(t;4,7)で求める。
　※ベータ分布は二項分布の度数を固定した時の出現率の分布であり、下限と上限で度数を累積する方向が異なる。
　　そのため図3.2.11のように2種類のベータ分布を用いる。
○正規近似法(連続修正有)によるπの95％信頼区間：(注2)参照
　
　π_L = 0.3 - 0.334026 = -0.0511395 (度数 = 0) 　π_U = 0.3 + 0.334026 = 0.651139 (度数 = 7)
　※二項分布B(x;10,0.3)を正規分布で近似すると、平均値=3、分散=2.1の正規分布N(3,2.1)になる。
　※その分布を利用して度数xの95％信頼区間を求めると図3.2.10のようになる。
　　これは上式で求めた出現率の信頼区間を例数倍して度数にした時の信頼区間に相当する。
　※この場合は二項分布が左右対称ではないので正規近似法による信頼区間の下限が負の値になってしまい、近似がやや悪い。

(注2)　表3.2.4の二項データを「1：有　0：無」とコード化したダミーデータdで表し、計量値扱いして平均値と分散を計算すると次のようになります。

標本平均： 　　母平均：
平方和：
不偏分散： 　　母分散：
∴E(x) = E(Σd_i) = nE(d_i) = nπ 　　V(x) = V(Σd_i) = nV(d_i) = nπ(1-π)

以上のように、xの母平均と母分散つまり二項分布B(x;n,π)の期待値と分散はnπとnπ(1-π)になります。 そしてこれらを用いてxを標準化すると次のようになります。

∵

上式から出現率pは標本平均に相当し、その期待値はπ、分散はπ(1-π)/nになることがわかります。 これは計量尺度のデータにおいて、標本平均の分散がデータの母分散σをnで割った値つまり標準誤差の平方になることに相当します。 そしてこのことから中心極限定理によって出現率の分布は近似的に正規分布になる、つまり二項分布を正規分布で近似できることがわかります。 (→1.3 データの要約方法)

二項分布を正規分布で近似して検定と推定を行う時は、順位和の分布を正規分布で近似して検定と推定を行う時と同様に連続修正を施す必要があります。 離散分布である二項分布をヒストグラムにすると、図3.2.9のように度数xの確率値を(x-0.5)〜(x+0.5)の幅の柱状グラフとして表します。 そして度数xの上側有意確率は度数xから度数nまでの確率値の合計すなわち図3.2.9の度数xから右側の柱状グラフの合計面積になります。

一方、二項分布の近似正規分布は点(x,xの確率値)の近く、つまり度数xの柱状グラフの中心近くを通ります。 そのためこの近似正規分布でx〜∞の確率値を積分した値は、二項分布の上側確率よりも少し小さな値になってしまいます。 そこで近似正規分布で(x-0.5)〜∞の確率値を積分すれば、二項分布の上側確率値により近似するはずです。 これが連続修正またはイェーツ(Yates)の補正の原理です。 (→3.2 1標本の計数値 (注2)、3.4 2標本の計数値　(2)名義尺度 (注3))

連続修正は有意確率を正確に求めるための便宜的な方法、つまりxが棄却域に入っているかどうかを正確に判定するための便宜的な方法にすぎません。 そのため連続修正を施したことに応じてxが0.5だけ変化したり、出現率が0.5/nだけ変化するわけではないことに注意してください。 そして連続修正を施すとかえって有意確率が不正確になる時は連続修正を施す必要はありません。

ただし
x - nπ ＜ 0 の時 sgn(x - nπ) = -1
x - nπ = 0 の時 sgn(x - nπ) = 0
x - nπ ＞ 0 の時 sgn(x - nπ) = 1

π=π₀=0.5とすると次のようになり、これがマクネマーの検定になります。

符号関数sgn(x)については(1)順序尺度の(注2)をご覧ください。 図3.2.7と図3.2.8を見ると、この近似はかなり正確なことと、p値がだいたい0.01くらいまでは連続修正を施した方が近似が良くなることがわかると思います。 そのためウィルコクソンの1標本検定と違って、通常はz_oの値によらず全て連続修正を施します。

推定は理論確率πが実際の出現率p_oと等しいと仮定し、その時の二項分布を正規近似して次のように行います。 その際、連続修正の原理に基づいて信頼区間を広げるように連続修正を施します。

πの100(1-α)％信頼区間：
下限： (度数=nπ_L)
上限： (度数=nπ_U)

信頼区間の下限が0以下になった時は0、上限が1以上になった時は1にし、度数は四捨五入によって整数化します。 この信頼区間はxの出現確率がp_oの二項分布を正規近似して求めたものであるのに対して、検定ではxの出現確率が検定の基準値π₀――例えば0.5――の二項分布を正規近似して行います。 これら2種類の近似正規分布は分散が異なる――nπ₀(1-π₀)とnp_o(1-p_o)――ので、(1-α)の度数が含まれる信頼区間の幅が一致するとは限りません。 そのため検定では有意水準5％で有意にもかかわらず、推定では95％信頼区間にπ₀が含まれるという矛盾した現象が起こり得ます。

そこで検定と推定の整合性を取るために、検定も推定もxの出現確率がπ₀の二項分布を正規近似して行うという方法があります。 この方法では検定で有意水準5％で有意になれば推定では必ず95％信頼区間にπ₀は含まれないという結果になり、両者の結果が矛盾しません。 ただしこの方法で求めた信頼区間は母出現率がπ₀ではなく標本出現率p_oに近いと信頼区間の精度が低くなってしまいます。 そのため普通は上記の式で推定を行います。 このように一般に検定結果と推定結果は一致するとは限りません。 (→1.5 有意性検定の考え方 (注1))

表3.2.3のデータについて実際に計算してみましょう。

検定：(p = 0.0044) ＞ t(∞,0.05) = 1.96
πの95％信頼区間：
π_L = 1 - 0.05 = 0.95 (度数 = 10) 　π_U = 1 + 0.05 = 1.05 → 1 (度数 = 10)

ここで離散分布の検定と推定の関係についてもう少し突っ込んで考えてみましょう。 第1章第3節で説明したように、要約値が連続分布する時は95％信頼区間には95％の要約値が含まれます。 そして信頼区間外の領域が5％棄却域になり、そこには5％の要約値が含まれます。 ところが出現率のように要約値が離散分布する時は95％信頼区間に95％の要約値が含まれるとは限らず、5％棄却域に5％の要約値が含まれるとは限りません。 (→1.3 推定)

例えば図3.2.7の二項分布B(x;10,0.5)では、有意水準5％の時の下側棄却域は度数0と1で上側棄却域は度数9と10です。 そしてこの棄却域に含まれる標本度数の割合は0.01074+0.01074≒0.0215であり、全体の2.24％しかありません。 さらにこの棄却域外の度数2〜8が95％信頼区間に相当し、そこに含まれる標本度数の割合は1-0.0214=0.9785であり、全体の97.85％もあります。

このことから要約値が離散分布する時は5％棄却域には5％以下の要約値が含まれ、95％信頼区間には95％以上の要約値が含まれることがわかります。 したがって額面上は有意水準5％の検定でも実際の要約値が棄却域に入る確率は5％以下であり、額面上は信頼係数95％の信頼区間でも実際の要約値が信頼区間に入る確率は95％以上である、つまり離散分布を用いた検定の実質的なαエラーは5％以下であり、信頼区間の実質的な信頼係数は95％以上になるわけです。

そもそも二項分布B(x;10,0.5)の両側棄却域は度数0と10(p=0.0020)、度数0〜1と9〜10(p=0.0215)、度数0〜2と8〜10(p=0.1094)、度数0〜3と7〜10(p=0.3438)、度数0〜4と6〜10(p=0.7539)の5種類だけです。 そのため実質的なαエラーも5種類だけであり、有意水準を0.01、0.05、0.1などと細かく分類して検定するのはほとんど無意味です。 何しろ例数が10例なので出現率や確率の有効数字は小数点以下1桁だけであり、小数点以下2桁目についてあれこれ検討するのは無意味なのがわかると思います。

また出現率の場合、検定は二項分布を利用するか、二項分布を正規分布で近似して行います。 これは母出現率がπ₀である母集団から得られる標本出現率の理論分布を用いた検定です。 ところが信頼区間は実際の標本出現率p_oに基づいたベータ分布を利用して求めるか、p_oに基づいた二項分布を正規近似して求めます。 これらは標本集団のデータから求めた信頼区間なので、検定結果と推定結果が一致するとは限らないのは当然です。

例えば図3.2.7の二項分布B(x;10,0.5)の場合、5％棄却域に入っているのは度数0、1、9、10であり、度数2〜8は95％信頼区間に入っています。 それに対してそれぞれの度数が標本度数と仮定し、それから求めた標本出現率に基づいて95％信頼区間を求めると、クロッパー・ピアソン法による信頼区間は度数2〜8の時は母出現率π₀=0.5を含み、度数0、1、9、10の時は0.5を含みません。 これは度数0、1、9、10は棄却域に入っていることを意味し、検定結果と矛盾しません。

しかし正規近似法による信頼区間は連続修正を施しても施さなくても度数0、1、2、8、9、10の時に母出現率0.5を含まず、度数2と8の時は検定結果と矛盾します。 これは母出現率0.5の時の信頼区間に標本度数2と8が入っているにもかかわらず、標本度数2と8の時の信頼区間には母出現率0.5が入っていない、つまり検定結果は有意ではないのに推定結果では有意になる現象であり、診断学でいう偽陽性に相当します。 これは度数2と8(出現率0.2と0.8)の時の正規近似法による信頼区間の幅が、母出現率0.5の時の二項分布による信頼区間の幅よりも狭いことが原因です。

この関係をクロス集計表で表すと次のようになります。

上表のように、クロッパー・ピアソン法による推定結果は二項検定の結果と全て一致するので一致率は100％です。 それに対して正規近似法による推定結果は偽陽性の確率が0.0879あるので一致率は91.21％になり、精度が少し悪くなります。

また二項検定の実質的αエラーは0.0215しかなく、クロッパー・ピアソンの信頼区間の実質的な信頼係数つまり被覆確率(母数を含む信頼区間の割合)は0.9785もあります。 そのため一見すると二項検定は検出力が低く、クロッパー・ピアソンの信頼区間は精度が悪いように思えるかもしれません。 事実、クロッパー・ピアソン法と正規近似法の被覆確率を比較すると正規近似法の方が平均的に信頼係数に近い値なので、クロッパー・ピアソンの信頼区間の精度を疑問視した論文が発表されたことがあります。 (Agreti, A.and Coull, B.A;American Statistian, 52, p119-126, 1998 参照)

しかし二項検定の実質的αエラーが小さな値になるのは離散分布の棄却域の割合が額面よりも小さくなることを反映しているのであり、実は正確な値です。 またクロッパー・ピアソンの信頼区間の被覆確率が大きな値になるのは離散分布の信頼区間の割合が額面よりも大きくなることを反映しているのであり、けっして精度が悪いわけではありません。 そして表3.2.11と表3.2.12を比べると、出現率の信頼区間として正規近似法よりもクロッパー・ピアソン法の方が精度が良いことがわかると思います。

またコンピュータで疑似乱数を発生させて出現率の検定と推定のシミレーションを行い、その結果を報告した論文がたまにあります。 しかし母集団から無作為抽出したn例のデータについて全ての組み合わせを理論的に求め、全組み合わせ数に対する特定の組み合わせの割合(出現確率)を計算したものが二項分布です。 そのためわざわざ偶然に任せた不正確なシミュレーションをしなくても、二項分布を用いて正確な実質的αエラーや被覆確率を計算して表3.2.11や表3.2.12のようなクロス集計表を作成することができます。

離散分布は例数が増えれば連続分布に近づくので、実質的αエラーも被覆確率も額面の値に近づきます。 例えば例数が100例の時の二項検定の検定結果と推定結果のクロス集計表は次のようになります。

上表のように、100例の時は二項検定の実質的αエラーが0.0352になり額面の0.05に近づきます。 そして正規分布による二項分布の近似も良くなるので、クロッパー・ピアソン法だけでなく連続修正を施した正規近似法による推定結果も検定結果と100％一致します。 さらに連続修正を施さない正規近似法による推定結果は偽陽性の確率が0.0217に減り、一致率が97.83％に上がります。

またクロッパー・ピアソン法と連続修正を施した正規近似法による信頼区間の被覆確率が0.9648であるのに対して、連続修正を施さない正規近似法による信頼区間の被覆確率は0.9431であり、見かけ上は額面の0.95により近い値です。 しかしこれは偽陽性の確率が0.0217あるのでたまたま0.95に近い値になったのであり、決して精度が良いわけではありません。 離散分布の信頼区間の割合は必ず0.95以上になるので、被覆確率が0.95未満の信頼区間はいくら額面の0.95に近くても精度が悪いと解釈する必要があります。

検定結果と推定結果の関係は例数だけでなく母出現率によっても変わります。 そこで例数が10例と100例の時について、母出現率を変化させた時の被覆確率と実質的αエラー、そして検定結果と推定結果の一致率の変化をグラフ化してみました。 グラフが不連続に変化しているのは、二項分布が離散分布であり、母出現率を連続的に変化させても被覆確率などが不連続に変化するからです。

これらのグラフの青い曲線は母集団から求めた二項分布の信頼区間の割合つまり実質的信頼係数と、棄却域の割合つまり実質的αエラーであり、同時にクロッパー・ピアソン法の被覆確率と実質的αエラーでもあります。 クロッパー・ピアソン法の信頼区間および棄却域は母集団から求めた二項分布の信頼区間および棄却域と常に一致するので、被覆確率と実質的αエラーは同じ曲線になります。 そのため図3.2.15と図3.2.18の二項検定と区間推定の一致率は全て1になり、一致率1のところに横に引いた青い直線になります。

青い曲線と大半が重なっている濃い灰色の曲線は母出現率を用いた正規近似法による被覆確率と実質的αエラー、そして一致率です。 この方法は母出現率から求めた二項分布を正規近似して行うので、二項検定との一致率は高くなります。

緑の曲線は連続修正を施した正規近似法による被覆確率と実質的αエラー、そして一致率です。 この方法は標本出現率から求めた二項分布を正規近似して行う方法なので、二項検定との一致率は低くなります。 ところが100例の時の被覆確率は平均的には0.95に近く、一見するとクロッパー・ピアソン法よりも精度が良いように思えてしまいます。 しかしそれは偽陽性があるのでたまたま0.95に近いだけであり、決して精度が良いわけではないのは前述のとおりです。

赤い曲線は連続修正を施さない正規近似法による被覆確率と実質的αエラー、そして一致率です。 この方法は連続修正を施さないので二項検定との一致率は最も低くなります。 母出現率を用いた正規近似法と標本出現率を用いた正規近似法を比較すると、母出現率を用いた方が信頼区間の精度が高いことがわかります。 ということは本当の母出現率が標本出現率に近い時は標本出現率を用いた正規近似法の方が精度が高いということです。

これらのグラフを見ると、クロッパー・ピアソン法による信頼区間および棄却域は母出現率の値によらず母集団から求めた二項分布の信頼区間および棄却域と一致するので、検定の帰無仮説が正しい時でも対立仮説が正しい時でも正確なことがわかります。 このことからクロッパー・ピアソン法による信頼区間が正確信頼区間と呼ばれるわけがわかり、二項検定に対応する区間推定法としてはこの方法を用いるのが合理的であることがわかると思います。 そして正規近似法としては標本出現率を用いて連続修正を施したものが精度が最も高いこともわかると思います。

ちなみに平均値の場合でも、母集団から求めた標本平均値の理論分布を用いて行った検定結果と、標本集団のデータから求めた標本平均値の理論分布を用いて行った検定結果は一致するとは限りません。 これは標本集団から求めた母分散の推定値である不偏分散に誤差があり、母分散を正確に推定できないことが原因です。 しかし平均値の場合は実際の検定も推定も標本集団のデータから求めた理論分布を用いて行うので、標本平均値が検定の棄却域に入れば信頼区間には入らず、検定結果と推定結果は必ず一致します。 (→付録2　中心極限定理のシミュレーション−平均値と中央値)

連続修正の原理を逆に離散分布に適用し、離散分布で上側確率を求める時は度数xの確率値を半分にして合計確率を求めるという方法があります。 その方法で求めた有意確率をmid-P valueといいます。 この値は連続修正を施さなくても近似正規分布の上側確率値と近似し、離散分布と連続分布の整合性が良くなります。

しかしmid-P valueでは非合理なことが起きます。 この考え方に従えば、棄却域を設定する時、棄却域の最後の度数の確率を半分にして確率を合計し、それがαを超えないところまでを棄却域にします。 例えば図3.2.12の二項分布B(x;4,0.5)において、右端の度数4の出現確率は0.0625です。 するとその確率の半分は0.03125ですから、片側有意水準(片側検定の有意水準)5％では棄却域は度数4だけになります。

そして実際の出現度数が4だった時、その確率値を半分にするので0.0312＜0.05になり、出現度数4は棄却域に入っていると判定されて有意水準5％で有意になります。 その結果、「母出現率=0.5」という帰無仮説を棄却して、帰無仮説を否定した対立仮設「母出現率＞0.5」を採用します。

ところが出現度数4の出現確率そのものは6.25％あるので、帰無仮説が正しい時に出現度数が4になる確率は6.25％あります。 これは有意水準5％(αエラー5％)つまり「帰無仮説が正しいにもかかわらず帰無仮説を間違って棄却する危険性は5％未満」という建前と矛盾します。 そのため有意確率としてmid-P valueを用いるのはお勧めできません。

ちなみに図3.2.12からわかるように、片側有意水準5％とすると二項分布B(x;4,0.5)には棄却域が存在しません。 棄却域が存在しないということは、どんな結果になっても決して有意にはならないということです。 これは、たった4例の試験では95％以上信頼できる結論は得られないということであり、常識から考えて当たり前のことです。 mid-P valueを用いるとたった4例の試験でも有意になり得る、つまり95％以上信頼できる結論が得られることになり、かなり非常識な考え方だということが実感できると思います。

(注3)　表3.2.9のデータを順序尺度と考えてみましょう。

この場合、n例全てが同位の値であり、「有」となったx例を「+群」、「無」となったy例を「-群」として、ウィルコクソンの1標本検定を適用すると次のようになります。

平均順位：
　　 　　 　　

n例全てが同じ順位のため順位和T₊の種類は例数xだけで決まり、0からT_nまで全部で(n+1)種類しかありません。 そしてその度数fはn例からx例を取り出す組み合せの数になり、順位の全組み合せ数は2ⁿになります。 するとxの分布は、次のように理論確率0.5の二項分布になります。 したがって表3.2.9のデータに対するウィルコクソンの1標本検定の直接確率計算は符号検定と一致します。

頻度関数：
確率密度関数：

正規近似計算は次のようになり、やはり符号検定の正規近似検定であるマクネマーの検定に一致します。 ただし連続修正の施し方がウィルコクソンの1標本検定とマクネマーの検定で異なるため、連続修正を加えると多少異なった値になります。 しかしこれは本質的な違いではありません。

(注4)　表3.2.4のデータを一般化すると次のようになります。

帰無仮説と対立仮説は次のようになります。

この仮説のもとで、各種の値は次のようになります。

n_iの理論度数：
検定統計量：
自由度：φ = a - 1
検定：χ_o² ＞ χ²(φ,α)の時、有意水準100α％で有意

表3.2.4のデータについて実際に計算してみましょう。

自由度：φ = 4 - 1 = 3
検定：

表3.2.6のデータについても実際に計算してみましょう。

自由度：φ = 1 (3種類の分類の理論的出現率はπだけで決まるため)
検定：
クラメールの連関係数： 　寄与率：r² = V² = 0.0625

一般的なχ²検定とクラメールの連関係数については第4節の(注3)と(注6)を御覧ください。 (→3.4 2標本の計数値　(2)名義尺度)