玄関雑学の部屋雑学コーナー統計学入門

3.3 2標本の計量値

データが計量値で標本の数が2つの時に、2つの平均値を比較をするには1標本と同じくt検定とそれに対応する区間推定を適用します。 この手法はデータに対応があるかないかで内容が多少異なります。

(1) データに対応がある場合

一般に、対応のある2標本のデータは差や比を求めて1標本にして扱います。 差と比のどちらが適当かは第2章で詳しく説明したのでそちらを見ていただくとして、ここでは一般的な差に変換することにしましょう。 (→2.4 差と比とパーセントの使い分け)

例として次のような問題について考えてみましょう。

問題:慢性肝炎患者に薬剤Aを投与することによってAST(GOT)が低下するか?

まず第1節と同様に、ASTが低下するかどうかを評価するには平均値を評価指標にすることが医学的に妥当だとします。 そして母集団における薬剤A投与前のAST平均値つまり投与前の母平均をμb、投与後の母平均をμaとし、μbを基準値μ0にします。 さらに「ASTが変動したわけではない」と考えられる範囲、つまり医学的な同等範囲を投与前の母平均±10未満とします。 そうすると検定の帰無仮説と対立仮説は次のように表されます。

H0:μab0
H1:μab±10 (μab-10 または μab+10)

これらのデータは前後で対応があり、差つまり変化量を計算することによって1標本にすることができます。 そこで薬剤投与前後におけるASTの変化量の母平均を考え、それをδとすると、上の仮説を次のように表すことができます。

H0:δ=μa - μb0=0
H1:δ=μa - μb=±10 (δ=-10 または δ=10)

これは1標本t検定において実測値の代わりに投与前後の変化量を用い、基準値をδ0=0、医学的な許容範囲を±10にしたものに相当します。 この手法を特に対応のあるt検定(paired t-test)と呼び、医学・薬学分野ではこの名称の方がよく用いられます。

検定を行う場合、帰無仮説と対立仮説を設定した後、本来なら有意水準と検出力を決め、試験の必要例数を求めてから試験を行います。 しかし第2節と同様に、説明を簡潔にするためにそれらの煩雑な手順は省略します。 そこで無作為に選んだ慢性肝炎患者10例に薬剤Aを投与して、その投与前後のASTを測定したところ表3.3.1のようになったとします。 このデータについて有意水準5%、信頼係数95%として、対応のあるt検定と推定を行うと次のようになります。 (注1)

表3.3.1 投与前後のAST
No.12345678910
投与前56604947654635554146
投与後47453732554438314229
変化量-9-15-12-15-10-2+3-24+1-17
図3.3.1 投与前後の平均値±標準誤差 図3.3.2 変化量平均値とその95%CI
投与前:例数=10  平均値=50  標準偏差=9  標準誤差=2.9
投与後:例数=10  平均値=40  標準偏差=8  標準誤差=2.6
変化量:例数=10  平均値=-10  標準偏差=9  標準誤差=2.7
検定:|to|=3.710(p=0.0048)>t(9,0.05)=2.262 … 有意水準5%で有意
推定:δの95%信頼区間=-10±6.1 → 下限:δL=-16.1 上限:δU=-3.9

ここで注意しなければならないことは、検定や推定に用いるのは変化量の平均値とその標準誤差であって、投与前後の実測値の平均値とその標準誤差ではないということです。 医学論文などで図3.3.1のようなグラフをよく見かけます。 しかしこのグラフから変化量の標準誤差についての情報は得られず、検定結果や推定結果について見当をつけることはできません。

検定結果や推定結果について見当をつけるには、変化量の平均値とその95%信頼区間(95%CI)をプロットした図3.3.2のようなグラフを併用する必要があります。 このグラフを見れば、変化量平均値の95%信頼区間が横軸から離れている、つまり95%信頼区間の中に0が入っていないので検定結果は有意水準5%で有意だとすぐにわかります。 図3.3.2のようなグラフで、信頼区間の代わりに変化量の標準誤差をプロットすることがよくあります。 しかし標準誤差は検定結果も推定結果も直接的には反映しないので信頼区間の方が合理的です。

また、例えば表3.3.2のような2組のデータがあったとします。 これら2組のデータは前後の平均値、標準誤差、標準偏差は全く同一です。 しかし個々の変化量が異なっており、変化量の標準誤差と標準偏差が異なっています。 そのためtoが異なった値になり、検定結果と推定結果は異なったものになります。 このことは図3.3.3と図3.3.4を見れば一目瞭然だと思います。

表3.3.2 2組のデータ
データ1 データ2
No.変化量 No.変化量
1109-1 11011+1
21110-1 21110-1
31211-1 3129-3
平均値1110-1 平均値1110-1
標準偏差110 標準偏差112
標準誤差0.60.60 標準誤差0.60.61.2
to -∞ to -0.866
図3.3.3 データ1の実測値と変化量 図3.3.4 データ2の実測値と変化量

この2組のデータについて図3.3.1のような実測値のグラフを描くと、両者は全く同じグラフになってしまいます。 そのため図3.3.2のような変化量のグラフを併用しないと内容を誤解する恐れがあります。 つまり投与前後における実測値の標準偏差はデータの外面的なバラツキ具合を表しているのに対して、変化量の標準偏差はデータの内部変動のバラツキ具合を表しているのです。 そして対応のあるt検定と推定はデータの内部変動を反映するのです。

表3.3.1のデータについては、検定結果と推定結果から次のような統計的結論を採用することができます。

統計的結論:慢性肝炎患者のASTは薬剤Aの投与前後で変化する。 その変化量平均値は-10であり、幅をもたせれば-16〜-4の間である。

しかしこれは単なる統計的な結論であり、本当に大切なのは次のような点について検討して医学的結論を導くことです。

  1. -10という変化量平均値は医学的に意義があるか(低下したと言えるか)?
  2. -10という変化量平均値は純粋に薬剤Aの効果によるものか?
  3. この結果をそのまま慢性肝炎患者全体に当てはめて良いか?

1番目の疑問は今までしつこく説明してきたように最も重要なものであり、これに答えられるのは統計学者ではなく医学研究者です。 この場合は事前に医学的な同等範囲を投与前の平均値±10未満としたので、-10という変化量平均値は医学的に意義があるということになります。 ただし95%信頼区間の下限が-4ですから、変化量平均値が-10よりも小さい可能性があることも一応は考慮しておく必要があります。

2番目の疑問については、残念ながらこのデータだけから正確に答えることはできません。 例えば先行研究等から薬剤を使用しない時の自然変動がどの程度あるかわかっていれば、薬剤Aの効果を推測することができます。 しかし確実な答を得るためには、薬効のないプラセボ(偽薬)を投与した群を対照にした無作為化比較臨床試験(RCT:Randomized Controlled Trial))を行う必要があります。 無作為化比較臨床試験については第1章を参照していただくとして、ここでは目的に応じた正しい実験計画が重要であるということだけ強調しておきましょう。 (→1.8 科学的研究の種類とデザイン 2)実験的研究)

3番目の疑問については、10例の症例が慢性肝炎患者全体から正しい手順で無作為抽出されたのなら答は「当てはめても良い」になります。 しかしそうでなければ答は「当てはめられない」になります。 一般的な臨床試験や臨床研究では正しい手順による無作為抽出は事実上不可能ですから、この結果をそのまま慢性肝炎患者全体に当てはめることはできません。 この結果を当てはめることができるのは、性、年齢、重症度、その他モロモロ全て含めて10例の症例と同じような背景因子を持つ母集団つまり準母集団だけです。 そしてこのことはしばしば誤解の元になります。

先行研究を参考にしてそれと同じような試験を行った場合、先行研究と異なった結果になったり、時には矛盾する結果になったりすることがよくあります。 これは科学理論の欠陥やデータの誤差によるものではなく、対象にした症例の背景因子の違いによることが多いようです。 結果を当てはめるべき母集団が違うのですから、結果が違っていても不思議ではありません。

以上のことについて十分に検討した結果、-10という変化量平均値が医学的に意義があり、自然変動が無視できる程度であり、10例の症例が慢性肝炎患者全体から正しい手順で無作為に抽出されたとすると、次のような医学的結論を採用することができます。

医学的結論:慢性肝炎患者のASTは薬剤A投与後に低下する。 それは薬剤Aの効果であると考えられる。

(2) データに対応がない場合

対応のない2標本のデータは差や比を求めて1標本にすることができません。 そのためデータをそのまま用いて2標本t検定(two sample t-test)または対応のないt検定(unpaired t-test)またはステューデントのt検定(Student's t-test)と呼ばれる検定と、それに伴う推定を適用します。 この手法は標本の数が2つ(2標本)の時だけ適用し、標本の数が3つ以上(多標本)の時は第4章で説明する分散分析という手法を適用しなければなりません。 (→4.1 多標本の計量値 (1)データに対応がない場合)

例として次のような問題について考えてみましょう。

問題:慢性肝炎患者と正常人のASTの値に違いがあるか?

この場合も慢性肝炎患者と正常人のASTの違いを評価するには平均値を評価指標にすることが医学的に妥当だとします。 そして慢性肝炎群の母平均をμH、正常群の母平均をμNとし、μNを基準値μ0にします。 さらに「ASTに違いがあるわけではない」という医学的な同等範囲を正常群の母平均±10未満とします。 そうすると検定の帰無仮説と対立仮説は次のように表されます。

H0:μHN0
H1:μHN±10 (μHN - 10 または μHN + 10)

ここで対応のあるt検定と同じように2群の母平均の差を考え、それをδとすると、上の仮説を次のように表すことができます。

H0:δ=μH - μN0=0
H1:δ=μH - μN=±10 (δ=-10 または δ=10)

これは対応のあるt検定と同様の仮説です。 しかし慢性肝炎群と正常群には対応がなく、対応のある時のように個々のデータの差を計算することができません。 したがって平均値の差は求められますが、差の標準偏差と標準誤差は求められず、t値を計算することができません。 そこで2群の標準偏差から平均値の差の標準誤差を求め、それを使ってt値を計算します。

この場合も必要例数の計算は省略し、上記の仮説を検定するために正常人10例と慢性肝炎患者10例を無作為に選び、そのASTを測定したところ表3.3.3のようになったとします。 このデータについて有意水準5%、信頼係数95%として、対応のないt検定と推定を行うと次のようになります。 (注2)

表3.3.3 正常群と慢性肝炎群のAST
No.12345678910
正常群47453732554438314229
慢性肝炎群56604947654635554146
図3.3.5 2群の平均値±標準誤差 図3.3.6 平均値の差とその95%CI
正常群:例数=10  平均値=40  標準偏差=8  標準誤差=2.6
慢性肝炎群:例数=10  平均値=50  標準偏差=9  標準誤差=2.9
2群の平均値の差(慢性肝炎群−正常群)=10  平均値の差の標準誤差=3.8
検定:|to|=2.599(p=0.0181)>t(18,0.05)=2.101 … 有意水準5%で有意
推定:δの95%信頼区間=10±8.1 →下限:δL=1.9 上限:δU=18.1

対応のあるデータと同様に、この場合も図3.3.5のような実測値のグラフだけでなく、図3.3.6のような平均値の差のグラフを併用すると便利です。 このグラフを見れば、平均値の差の95%信頼区間が横軸から離れている、つまり95%信頼区間の中に0が入っていないので検定結果は有意水準5%で有意だとすぐにわかります。 図3.3.5のようなグラフだけでは、検定結果と推定結果について見当をつけることは難しいと思います。

実は表3.3.3のデータは表3.3.1と同じ値であり、投与前を慢性肝炎群に、投与後を正常群にしただけです。 そのため上記の結果は同じ数値を対応のないデータとして扱い、基準値を逆にした時のものに相当します。 表3.3.1の結果は次のとおりでした。

投与前後の変化量:例数=10  平均値=-10  標準偏差=9  標準誤差=2.7
検定:|to|=3.710(p=0.0048)>t(9,0.05)=2.262 … 有意水準5%で有意
推定:δの95%信頼区間=-10±6.1 → 下限:δL=-16.1 上限:δU=-3.9

両方の結果を比べると、対応のないデータとして扱った時は平均値の差の標準誤差が大きくなり、検定も推定も精度が悪くなっていることがわかります。 対応のないデータは差の標準偏差つまり差のバラツキ具合を要約する値を求めることができません。 そのため平均値の差の標準誤差を2群の実測値の標準偏差から求めます。 しかしそれは効率の悪い計算方法なのでデータから求めた標準誤差よりも値が大きくなり、検定も推定も精度が悪くなってしまうのです。 このことは図3.3.2と図3.3.6を見比べれば一目瞭然です。

さらに対応のないデータはお互いに独立であり、相関関係がありません。 そのため2群の標準偏差から平均値の差の標準誤差を求める時、2群のデータが独立という前提で標準誤差を求めます。 しかし対応のあるデータは独立ではないので相関関係があります。 そのため2群の標準偏差から平均値の差の標準誤差を求める時は相関関係を考慮して計算する必要があります。 したがって通常の2標本t検定の計算式をそのまま用いることはできず、2群の相関関係を考慮した計算式に修正しなければなりません。 (注3)

このように対応のあるデータを対応のないデータとして扱い、対応のない統計手法を適用することは原理的には可能です。 しかし対応のないデータとして扱うと相関関係を考慮した計算式に修正しなければならず、しかも標準誤差が大きくなって効率が悪くなります。 そのため検定と推定の計算式が複雑になる上に、結果の精度が悪くなってしまいます

また表3.3.2のデータ1とデータ2を対応のないデータとして扱うと、どちらも全く同じデータになってしまい、時期変動の様子が異なっていることを検出できません。 そのため時期変動の様子を検討したい時は対応のあるデータとして扱う必要があります。

反対に対応のないデータを対応のあるデータとして扱い、対応のある統計手法を適用することはできません。 対応のあるデータは差や比を求めて1標本にして扱うため、ペアになっている必要があるからです。 そのためペアになったデータのどちらか一方が欠測値(missing data、欠損値)のものは、対応のあるデータとして扱うことはできません。 そこで欠測値が非常に多い時はデータの扱い方をよく検討する必要があります。 例えば表3.3.4のようなデータに対応のある手法は適用できません。

表3.3.4 ペアのないデータ
No.
120--
2-10-
340--
4-30-
平均3020-
SD1414-
SE1010-

こんな時は便宜的に対応のないデータとして扱い、対応のないt検定を適用することがあります。 しかしその結果については慎重な検討が必要です。 この場合、前後の平均値の差-10が前後という時期の違いによるものなのか、それとも(No.1+No.3)対(No.2+No.4)という症例の違いによるものなのか明確には判別できません。 したがって欠測値が非常に多い時は無理に統計手法を適用せず、データ不足として結論を保留するか、試験を再度行い、しっかりしたデータを手に入れてから統計手法を適用するのが賢明です。

表3.3.3のデータについては、対応のないt検定と推定の結果から次のような統計的結論を採用することができます。

統計的結論:慢性肝炎患者のAST平均値は正常人のAST平均値よりも高い。 その平均値の差はほぼ10であり、幅をもたせれば2〜18の間である。

そして対応のあるt検定と同様に、この場合も次のような点について検討する必要があります。

  1. 10という平均値の差は医学的に意義があるか?
  2. 10という平均値の差は慢性肝炎という疾患によるものか?
  3. この結果をそのまま慢性肝炎患者全体と正常人全体に当てはめて良いか?

1番目と3番目の疑問は対応のあるt検定と同じものです。 しかし2番目の疑問は初めて出てきたものであり、これは両群の背景因子の問題です。 原則として、2つの群は慢性肝炎という疾患の有無を除いてほとんど同じような背景因子を持つ集団でなければなりません。

例えば慢性肝炎群は老人ばかりで正常群は若者ばかりだとしたら、ASTの差が疾患によるものなのか、それとも年齢によるものなのか区別できません。 もしASTが年齢によって影響を受けなければ、年齢がある程度違っていてもかまいません。 しかし年齢が違うということは他の背景因子——例えば飲酒歴等——も異なっている可能性が高く、その因子がASTに影響を与えるかもしれません。

したがって2群の背景因子はほとんど同じなのが理想であり、症例を選択する時はそのことに十分注意する必要があります。 それをうまく行うために考えられた試験方法が無作為化比較対照試験(RCT)です。

以上のことについて十分に検討した結果、10という平均値の差が医学的に意義があり、2群の背景因子がほぼ同等で、20例の症例が慢性肝炎患者全体と正常人全体から正しい手順で無作為に抽出されたものだとすると、次のような医学的結論を採用することができます。

医学的結論:慢性肝炎患者のASTは正常人よりも高い。

薬剤の効果を検討する時は、実測値ではなく薬剤投与前後の変化量の平均値を評価指標にするのが普通です。 そのため2種類の薬剤の効果を比較する時は、2標本t検定を用いて変化量の平均値を比較します。 その場合は変化量つまり差の平均値のさらに差が0かどうかを検定するため、サノサ(差の差)の検定または差分の差分分析(DID:Difference-in-differences design)と呼ばれることがあります。 薬剤の臨床試験では実測値よりも変化量を比較することが多いので、2標本t検定をサノサの検定に用いるのが普通です。 (→4.3 繰り返しのある多標本・多時期の計量値 (3) 繰り返し測定データによる薬効比較)


(注1) 対応のあるt検定は1標本t検定における実測値xを変化量dに置き代えただけですから、計算式は第1節の(注2)をご覧ください。 表3.3.1のデータについて計算すると次のようになります。


           
|to|=3.710 (p=0.0048)>t(9,0.05)=2.262
δの95%信頼区間=-10±2.262×2.7≒-10±6.1 → 下限:δL=-16.1 上限:δU=-3.9

(注2) 表3.3.3のデータを一般化し、各種統計量を求めると次のようになります。

A群:x1、x2、…、xi、…、xnA (i=1,2,…,nA)
B群:y1、y2、…、yj、…、ynB (j=1,2,…,nB)
標本平均値 A群:   B群:
平方和 A群:
 B群:
不偏分散 A群:   B群:
標準偏差 A群:   B群:
標準誤差 A群:   B群:

2群の母分散をσx2、σy2とすると、分散の性質から平均値の差の分散と標準誤差を求めることができます。 そしてそれらの値を利用して対応の無いt検定と平均値の差の推定を行います。

平均値の差:md=mB - mA
平均値の差の分散:
σx2とσy2が等しいと仮定してσ2で表すと

2群共通平方和:SS=Sxx + Syy
2群共通不偏分散:
平均値の差の標準誤差:
検定統計量:
検定:|to|>t(nA+nB-2,α)の時、有意水準100α%で有意
推定:平均値の差の100(1-α)%信頼区間=md±t(nA+nB-2,α)SEmd
→ 下限:δL=md - t(nA+nB-2,α)SEmd 上限:δU=md + t(nA+nB-2,α)SEmd
※t(nA+nB-2,α):自由度(nA+nB-2) のt分布における100α%点

表3.3.3のデータについて実際に計算してみましょう。



md=50-40=10
  
SS=598+734=1332     
  |to|=2.599 (p=0.0181)>t(18,0.05)=2.101
δの95%信頼区間=10±2.101×3.8≒10±8.1 → 下限:δL=1.9 上限:δU=18.1

両群の母分散が等しいかどうかは、厳密には等分散性の検定という手法で検討します。 この検定は検定統計量としてF値を利用するため、等分散性のF検定とも呼ばれています。 そして分散の実質科学的な同等範囲をδsとすると、帰無仮説と対立仮説は次のようになります。 なおF検定については第1章で説明したので、そちらも参照してください。 (→1.6 統計的仮説検定の考え方 (5) F分布とF検定)

H0:σx2y2
H1:σx2y2±δsx2y2 - δs または σx2y2 - δs)

この場合、評価指標として分散そのものではなく分散比を用いることができます。 そしてF値は次のような分散比なので検定統計量であると同時に評価指標でもあります。 つまりF値が1に近ければ2群の母分散はほぼ等しく、1から離れるほど異なった値になるわけです。

F検定は片側検定が普通なので一般的なF分布表には分布の片側だけで累積確率がαになる時のF値が載っていて、それらは全て1以上の値です。 しかしこの場合は両側検定のため値が小さい方の母分散を分母にしてF≧1になるようにします。 そして分散の実質科学的な同等範囲δsを利用して分散比の同等範囲を求めます。 例えば実質科学的な同等範囲δsを小さい方の母分散と同じ値とすると、分散比F値が2未満ならほぼ等分散ということになります。

H0:F=1 (σx2y2)
H1:F=2 (σx2=2σy2、F=σx2y2)
検定:>F(nA-1,nB-1,α/2)の時、有意水準100α%で有意
推定:Fの100(1-α)%信頼区間
 下限:  上限:

F(nA-1,nB-1,α/2)はF分布における100(α/2)%点の値であり、分子の分散の自由度(nA-1)を第1自由度、分母の分散の自由度(nB-1)を第2自由度と呼びます。 有意水準がα/2になっているのは、この検定が両側検定だからです。

これは統計的仮説検定ですから、当然、事前に検定の必要例数を求める必要があります。 そしてその必要例数が対応のないt検定の必要例数よりも多ければ、試験の必要例数としてその必要例数を用いなければなりません。 これは非常にわかりにくいことですし、δsを合理的に決めるのは現実的には困難です。 そこて実際の研究現場では、δs>0として統計的仮説検定ではなく有意性検定を行うのが普通です。 その場合の対立仮説は次のようになります。

H1:F>1 (σx2>σy2)

そして検定結果が有意の時は「不等分散」と解釈し、有意ではない時は本来は結論保留ですが、普通は「消極的ながら等分散」と解釈します。 しかし2群の分散が厳密に一致することは有り得ないので、有意性検定は例数が多くなれば必ず有意になります。 そのためこの解釈は合理的ではありません。 したがってたとえ有意性検定を行うにしても、F値の信頼区間を参考にしながら、F値が科学的に意義のある値――例えば4――未満であるかどうかを考慮して、不等分散か等分散かを検討するのが合理的です。

表3.3.3のデータについて実際に計算してみましょう。 この場合は検定結果が有意ではなく、F値の95%信頼区間の上限が5に近いものの、1から大きく離れているわけではないのでほぼ等分散と解釈して良いと思います。

検定:
※p値を用いて検定を行う時はα/2と比較する必要がある。 しかしそれは誤解されやすいので、t検定と同様にp値を2倍してαと比較するとわかりやすい。
 Fo=1.227  両側検定用p=2×0.3826=0.7652>0.05
推定:Fの95%信頼区間
 下限:  上限:

2群の母分散が等しくない時、平均値の差は正確にはt分布しません。 そこでそのような場合の検定方法はベーレンズ・フィッシャー問題(Behrens-Fisher problem)と呼ばれて、色々と議論されてきました。 その結果、厳密な検定方法は恐ろしく複雑で非実用的なことがわかったため、次のように色々な近似補正法が考えられています。

(1) アスピン・ウェルチ(Aspin-Welch)の手法(ウェルチの検定)

この手法ではt値は原理どおりに計算し、自由度を2群の分散で補正します。 補正された自由度φは本来の自由度(nA+nB-2)以下になり、検定結果は有意になりにくくなります。 この手法は計算が比較的簡単なため最も広く用いられています。

  

※φは切り捨てによって整数化する
|to|>t(φ,α)の時、有意水準100α%で有意
100(1-α)%信頼区間の計算にはt(φ,α)を用いる

分散比の検出差の目安をつけるために、2群の例数が等しい時の分散比と補正された自由度の関係を導いてみましょう。

nA=nB=n、分散比:γ=Vy/Vxとすると

{(1+γ)2/(1+γ2)}>1より、(n-1)<φ≦2(n-1)
γ=4の時:
γ=10の時:
・n=11の時:等分散t検定の自由度=20、to=2とすると p=0.0592655
γ=4の時の補正された自由度=14、to=2とすると p=0.065288
γ=10の時の補正された自由度=12、to=2とすると p=0.068655
γ=∞の時の補正された自由度=10、to=2とすると p=0.073388
※等分散t検定の自由度=20、to=1.8とすると p=0.0869647
・n=21の時:等分散t検定の自由度=40、to=2とすると p=0.0523223
γ=4の時の補正された自由度=29、to=2とすると p=0.0549436
γ=10の時の補正された自由度=24、to=2とすると p=0.0569398
γ=∞の時の補正された自由度=20、to=2とすると p=0.0592655
※等分散t検定の自由度=40、to=1.8とすると p=0.079406

この計算例からγが4の時は自由度が約74%に目減りし、γが10の時は自由度が約60%に目減りすること、そしてγがいくら大きくても自由度は半減しないことがわかります。 そしてたとえ自由度が半減しても有意確率は1.1〜1.2倍になるだけであり、t値が10%減少した時ほど大きくならないこともわかります。 t値は平均値の差をそのまま反映します。 そのため統計的仮説検定の検出差を10%未満とする、つまり平均値の差が10%未満なら科学的に同等とすると、2群の分散がいくら異なっていても科学的に意義のある影響はない、すなわち不等分散による補正は必要ないことになります。

(2) コクラン(Cochran)の手法

この手法もt値は原理どおりに計算し、基準にするt値を両群の分散で補正します。

  

|to|>twの時、有意水準100α%で有意
100(1-α)%信頼区間の計算にはtwを用いる

しかし(1)の計算例からわかるように、これらの手法による補正はごくわずかであり、実際には全て近似的に等分散と考えてしまって差し支えありません。 研究者たる者、枝葉末節なことは気にかけないで、結果を科学的に考察するといった本質的なことに注意を向けるようにしましょう。

(注3) 今、n例の対応のあるデータの実測値xとyの分散VxおよびVyと、変化量d=x-yの分散Vdが等しく、xとyの共分散がC(x,y)だとします。 この時、実測値xとyから求めた変化量平均値の標準誤差SEmdと、変化量dから求めた変化量平均値の標準誤差SEdの間には次のような関係があります。

Vd=Vx=Vy=Vとすると
実測値xとyの分散から求めた標準誤差:
変化量dの分散から求めた標準誤差:
※xとyが独立でC(x,y)=0とすると:

したがって実測値xとyを強引に無相関と仮定し、対応のあるデータを対応のないデータとして扱うと標準誤差が√2倍になり、それだけ検定と推定の精度が悪くなります。 そのため対応のあるデータを対応のないデータとして扱うことによって解析対象例数が2倍以上になれば、数学上は検定と推定の精度は落ちないことになります。 ただし対応のある症例のデータには相関があるのが普通であり、ペアになっていないデータの背景因子が異なる可能性は否定できないので、そのような処理はできるだけ避けた方が賢明です。

なおこのことから対応のあるデータを用いて変化量平均値を検定する試験つまり群内比較試験と比べると、対応のないデータを用いて平均値の差を検定する試験つまり群間比較試験は1群の例数が2倍必要になり、全体として4倍の例数が必要になるように思えるかもしれません。

しかし群内比較試験の検出差は基準値である0と変化量平均値の差であるのに対して、群間比較試験の検出差は2群の実測値平均値の差です。 そして2群の平均値が離れると、2群の総平均を中心にして2群の平均値が反対方向にほぼ同じ距離だけ離れます。 そのため群間比較試験の検出差は群内比較試験の検出差のほぼ2倍に相当します。 すると検出差が2倍になって標準誤差が√2倍になるため、1群の必要例数は群内比較試験の半分になり、2群合計した必要例数は群内比較試験の必要例数とほぼ同じになります。

第1章の(注1)で説明したように、順位平均値でも出現率でもこれと同様の関係があります。 (→1.8 科学的研究の種類とデザイン (注1))