(注1)　エーベルの級内相関係数は繰り返しの無い二元配置型のデータに適用するので、繰り返しの無い二元配置分散分析の結果を利用して計算することができます。 第4章で求めた二元配置分散分析の各種統計量から次のようにして計算します。 (→4.1 多標本の計量値　(2)データに対応がある場合 (注1))

　　

表5.4.1のデータについて実際に計算してみましょう。

　　 　　
　　
S_R = 23144.7 - 22162.7 - 19.5 = 962.5 　　
　　

b = 2の時、要因B₁、B₂の平方和をS₁₁、S₂₂、積和をS₁₂とすると、級内相関係数と相関係数の関係は次のようになります。 (→4.1 多標本の計量値　(2)データに対応がある場合 (注2))

　　





S_A - S_R = 2S₁₂ 　　S_A + S_R = S₁₁ + S₂₂


※r_VはS₁₁とS₂₂の幾何平均値と算術平均値の比になっている。 そこで幾何平均値と算術平均値の大きさを比較するために両者を平方した値の差を取ると
(等号はS₁₁ = S₂₂の時のみ)
∴0 ≦ r_V ≦ 1…S₁₁ = S₂₂ の時はr_V = 1、S₁₁ = 0またはS₂₂ = 0 の時はr_V = 0

上記のようにr_VはS₁₁とS₂₂が等しければ1になり、等しくなければ1未満になり、どちらかが0なら0になります。 したがってこの値は要因B₁とB₂の平方和または分散が一致しているかどうかを表す一致係数相当の値、つまり分散一致係数と解釈することができます。 分散の一致性を表す指標として分散比Fがあります。 そして分散比と分散一致係数の間には次のような関係があります。

→
※例えばF = 4の時

このようにb = 2の時のエーベルの級内相関係数は相関係数と分散一致係数をかけた値であり、要因B₁とB₂の相関係数が1で、かつ分散が等しい時だけ1になります。 また分散比が0〜∞の値であるのに対して分散一致係数は0〜1の値なので、分散の一致度を表す指標としてはこの場合は分散一致係数の方が便利です。 (→6.2 データの要約と多変量解析 (注2))

評価値または測定値の信頼性を表す指標として信頼性係数(coefficient of reliability または reliability coefficient)という値があります。 これは評価値の分散の中で真値の分散が占める割合として次のように定義されています。

x = α + ε　　V(x) = V(α) + V(ε)　　C(α,ε) = 0
x：評価値　　α：真値　　ε：評価誤差
(0 ≦ ρ ≦ 1)

実際のデータでは真値は不明なので真値の分散を直接求めることはできません。 そこで色々な推定法が考案されています。 エーベルの級内相関係数r_bbは要因Aの分散の中で(要因Aの分散 - 残差分散)の占める割合を表します。 これは要因Aの各水準の平均値つまり個体の平均値を評価値と考え、残差分散を誤差分散と考えた時の信頼性係数の推定値と解釈することができます。 そのためr_bbを信頼性の指標のひとつとして利用することができます。

実際のデータでは要因Aの分散よりも残差分散の方が大きくなることがあるので、r_bbが0よりも小さくなることがあります。 これは被験者の平均値のバラツキよりも、残差のバラツキつまり被験者と評価者の交互作用によるバラツキの方が大きいことを表します。 そのような場合は真値の分散を推定することができず、信頼性の指標としてr_bbを利用するのは不適当ということになります。

ある測定値の信頼性係数がρの時、測定をm回繰り返して、その平均値を測定値とした時の信頼性係数ρ_mは次のようになります。 これをスペアマン・ブラウン(Spearman-Brown)の公式といいます。

r₁₁にスペアマン・ブラウンの公式を当てはめると、次のようにr_bbと一致します。 この関係は一般的な級内相関係数にも当てはまりますし、順位相関平均値r_sから信頼性係数r_bbを求める時にも利用します。

またスペアマン・ブラウンの公式から、設定された信頼性を確保するために必要な測定回数を求めることができます。 ただしこの場合の信頼性は測定値の分散の中で真値の分散が占める割合であり、いわば相対的な信頼性にすぎません。 測定値にはどの程度の誤差が含まれていて、何桁目まで信頼できるかといった絶対的な信頼性を検討するにはV(α)やV(ε)の値そのものを実質科学的に検討する必要があります。

クロンバックのα係数は第4章の表4.1.12の表記法に従うと次のように定義されています。

下位尺度： 　　個々の項目y_ijの分散： 　　C_jk(y_ij,y_ik)：y_ijとy_ikの共分散、C_jj(y_ij,y_ij) = V_j(y_ij)
下位尺度の分散：

個々の項目がお互いに独立の時は∑C_jk = 0になり、α = 0になります。 個々の項目のデータがお互いに完全に一致している時、または定数を足せば完全に一致する時は∑C_jk = b(b-1)V_jに、∑V_j+∑C_jk = b²V_jになり、α = 1になります。

下位尺度と個々の項目の分散を平方和で表すと、次のようにαはr_bbと一致します。

(注2)　一般的な級内相関係数は次のようなモデルに基づいて導かれます。

1) Case1

1人の評価者がa人の被験者をそれぞれb回評価した時の評価者内信頼性を求めたい場合です。 この時の評価値は次のように分解され、これは一元配置分散分析の基本式に相当します。 したがってCase1は一元配置モデルになります。

繰り返しの無い二元配置分散分析において、要因Bを評価者がb回繰り返して評価したものと考えて残差に含めれば一元配置分散分析になります。 このモデルから次のようにしてICC(1,1)とICC(1,b)を導くことができます。

V_A ≒ bV(α) + V(ε)

∴


※V_B+R = 0の時、ICC(1,1) = 1

V_B+R = 0になるのはS_B = S_R = 0の時であり、要因Bつまりb回の測定値の平均値が全て等しく、しかも残差つまり要因Aと要因Bの交互作用がない時です。 要因Aと要因Bの交互作用がないということは、被検者ごとのb回の測定値の変動パターンが全て同じということです。 被検者ごとのb回の測定値の変動パターンが全て同じで、かつ平均値が全て等しいということは、b回の測定値が全て同じということです。 このことから被検者ごとのb回の測定値が全て一致している時はICC(1,1)=1になることがわかります。

b回の評価平均値を評価値とすると評価誤差の分散がb分の1になります。 そのためこの時の信頼性係数は次のようになります。

∴

ICC(1,1)とICC(1,b)は分散比に相当するので、分散比の信頼区間を求める計算式を利用して信頼区間を求めることができます。 (→3.3 2標本の計量値 (注2))

　　 　　
F(a - 1,a(b - 1),α/2)：第1自由度(a - 1)、第2自由度a(b - 1)のF分布における100(α/2)％点の値(上側確率がα/2になる点)
F(a - 1,a(b - 1),1-α/2)：第1自由度(a - 1)、第2自由度a(b - 1)のF分布における100(1 - α/2)％点の値
ICC(1,1)の100(1 - α)％信頼区間　下限：　上限：
ICC(1,b)の100(1 - α)％信頼区間　下限：　上限：

2) Case2

b人の評価者がa人の被験者を1回評価した時の評価者間信頼性を求めたい場合です。 この時の評価値は次のように分解され、これは二元配置分散分析の基本式に相当します。 したがってCase2は二元配置モデルになります。 この場合、評価者は多くの評価者からたまたま選ばれたb人であり、変量モデルになります。

x_ij = μ + α_i + β_j + ε_ij 　　V(x) = V(α) + V(β) + V(ε)
x_ij：被検者iのj番目の評価値　　μ：母平均 　　α_i：被検者iの効果　　β_j：評価者jの効果
ε_ij：被検者iのj番目の評価誤差(被検者iと評価者jの交互作用)
V_A ≒ V(α) + V(ε)　　V_B ≒ aV(β) + V(ε) 　　V_R ≒ V(ε)
∴



※V_B = V_R = 0の時、ICC(2,1) = 1

上式から、ICC(1,1)と同様にb回の測定値の平均値が全て等しく、被検者ごとのb回の測定値の変動パターンが全て同じ時はICC(2,1) = 1になる、つまり被検者ごとのb回の測定値が全て一致している時はICC(2,1) = 1になることがわかります。 b人の評価平均値を評価値とすると評価者と評価誤差の分散がb分の1になります。 そのためこの時の信頼性係数は次のようになります。

　　
∴

ICC(2,1)とICC(2,b)の信頼区間は次のようになります。

　　
F_L = F(a - 1,φ,α/2) 　　F_U = F(φ,a - 1,α/2) (φは四捨五入で整数化する)
ICC(2,1)の100(1 - α)％信頼区間
　下限： 　上限：
ICC(2,b)の100(1 - α)％信頼区間
　下限： 　上限：

2) Case3

特定のb人の評価者がa人の被験者を1回評価した時の評価者間信頼性を求めたい場合です。 この場合、評価者は特定のb人であり、評価者に関して母数モデルになります。 この時の評価値を分解すると、二元配置分散分析の基本式において評価者の効果が定数になったものになります。 したがってCase3は被験者が変量モデルで評価者が母数モデルである二元配置型の混合モデルになります。 この時の級内相関係数は分母の評価値の分散から評価者の分散を引いておく必要があります。

x_ij = μ + α_i + β_j + ε_ij 　　V(x) = V(α) + αβ_j² + V(ε)
x_ij：被検者iのj番目の評価値　　μ：母平均　 　α_i：被検者iの効果　　β_j：評価者jの効果
ε_ij：被検者iのj番目の評価誤差(被検者iと評価者jの交互作用)
V_A ≒ bV(α) + V(ε) 　　V_B ≒ aβ_j² + V(ε) 　　V_R ≒ V(ε)
∴


※V_R = 0の時、ICC(3,1) = 1

上式から、この場合はb回の測定値の平均値が異なっていても、被検者ごとのb回の測定値の変動パターンが全て同じならICC(3,1) = 1になることがわかります。 そのためb回の測定値が定数値だけ異なっている、つまりx₂=x₁+bという関係があればICC(3,1) = 1になります。 b人の評価平均値を評価値とすると評価誤差の分散がb分の1になります。 そのためこの時の信頼性係数は次のようになります。

∴
… クロンバックのα係数

ICC(3,1)とICC(3,b)の信頼区間は次のようになります。

　　 　　
ICC(3,1)の100(1 - α)％信頼区間
　下限： 　上限：
ICC(3,b)の100(1 - α)％信頼区間
　下限： 　上限：

級内相関係数の特徴を理解するために、評価値のパターンによって級内相関係数の値がどのように変化するかを見てみましょう。 話を単純にするために被験者も評価者も2名とし、表5.4.6のような4つのパターンの評価値を考えます。

これら4つの評価値の変動パターンと級内相関係数の関係を模式的に表すと図5.4.2のようになります。 図の中で級内相関係数全体に当てはまる時は「ICC」と表記し、Case1の2種類の級内相関係数に当てはまる時は「ICC(1)」と表記し、Case2の2種類の級内相関係数に当てはまる時は「ICC(2)」と表記し、Case3の2種類の級内相関係数に当てはまる時は「ICC(3)」と表記してあります。

図5.4.2の上の4つのグラフは、2名の被験者についての2名の評価者の評価値を二元配置型の折れ線グラフで描いたものです。 これらのグラフでは、同じ被験者についての2名の評価者の評価値の違いを時期変動のようなイメージで描いています。 それに対して下の4つのグラフは、同じデータを評価者1と評価者2の関係を表す散布図として描いたものです。 これらのグラフは図5.4.1と同じ原理で描いたものであり、被験者1と被験者2は散布図上の2つのプロットになります。 上下のグラフを見比べると、二元配置分散分析と級内相関係数の関係を感覚的に理解することができると思います。

パターン1は評価者1と評価者2の評価値が完全に一致するパターンです。 この場合、二元配置分散分析では被験者間差つまり要因Aの効果があり、評価者間差つまり要因Bの効果はなく、被験者と評価者の交互作用つまり誤差はないということになります。 そして評価者1と評価者2の回帰直線はy = xになり、級内相関係数は1になります。

パターン2は評価者1よりも評価者2の方が必ず一定の値だけ評価値が高いパターンです。 この場合、二元配置分散分析では被験者間差があり、評価者間差もあり、被験者と評価者の交互作用はないということになります。 そして評価者1と評価者2の回帰直線はy = x + 1になり、ICC(1)とICC(2)は1未満に、ICC(3)は1になります。

パターン3は評価者1の評価値は被験者ごとに異なっているのに対して、評価者2の評価値は一定というパターンです。 この場合、二元配置分散分析では被験者間差があり、評価者間差はなく、被験者と評価者の交互作用があるということになります。 そして評価者1と評価者2の回帰直線はy = 2になり、級内相関係数は0になります。

パターン4は評価者1と評価者2の評価値が正反対というパターンです。 この場合、二元配置分散分析では被験者間差はなく、評価者間差もなく、被験者と評価者の交互作用だけがあるということになります。 そして評価者1と評価者2の回帰直線はy = 4 - xになり、級内相関係数は負になります。

表5.4.6のデータについて級内相関係数を計算すると、実際には図5.4.2に記載した値にならないものがあります。 これは分散の推定値が近似値であり、理論どおりの値にならないことがあるからです。 また級内相関係数は原則として-1〜1の間の値になりますが、やはり分散の推定値が近似値のため-1より小さくなることがあります。

表5.4.1のデータについて、実際に級内相関係数とその95％信頼区間を計算してみましょう。

　　
　　 　　
ICC(1,1)の95％信頼区間： 　　
ICC(1,3)の95％信頼区間： 　　


　　
F_L = F(9,19,0.025) = 2.880052 　　F_U = F(19,9,0.025) = 3.683338
ICC(2,1)の95％信頼区間： 　　
ICC(2,3)の95％信頼区間： 　　
　　
　　 　　
ICC(3,1)の95％信頼区間： 　　
ICC(3,3)の95％信頼区間： 　　

級内相関係数を用いて2名の評価者の評価が一致しているかどうか、または2種類の測定機器の測定値が一致しているかどうかを検討したい時がよくあります。 その場合、信頼性の高い級内相関係数を得るためにはa(被検者数または検体数)がどれくらい必要かが問題になります。

「信頼性の高い級内相関係数」というのは、級内相関係数の信頼区間が級内相関係数の医学的許容範囲内――級内相関係数のゆらぎがこの範囲に収まっていれば、医学的にはほぼ同等と考えられる範囲――に収まっている状態と考えられます。 そこで級内相関係数の信頼区間幅が医学的許容範囲以下になる時のa(被験者数または検体数)を求めれば、それが試験の必要例数になります。 これは信頼区間を用いた試験の必要例数の計算方法と同じ原理です。 (→1.7 ハンディキャップ方式の検定 (注2)、1.8 科学的研究の種類 (注1))

ただし級内相関係数の場合、信頼区間幅が標本級内相関係数の上下で対称ではありません。 そこで標本級内相関係数と信頼区間の下限までの幅が医学的許容範囲内であれば、「信頼性の高い級内相関係数」と解釈することにします。 級内相関係数は値が高いほど一致度が高いので、信頼区間の上限が問題になることはほとんどないと考えられるからです。

例としてICC(3,1)についてaを求める方法を考えてみましょう。 まず試験目的から考えて「一致度が高い」と考えられるICC(3,1)の値をiccとし、医学的に許容できる信頼区間の下限値をicc_Lとします。 そして一致度を評価したい評価者数または測定機器数をb、信頼係数を(1 - α)とすると、ICC(3,1)の信頼区間の下限を求める式から次の関係が成り立ちます。

→
→
　　
→

最後の式で、iccとicc_Lとbから求めたF_oLと、aとbとαから求めたF(a - 1,(a-1)(b-1),α/2)が一致する時のaが試験の必要例数になります。 そしてF(a - 1,(a-1)(b-1),α/2)はaとbが大きくなるほど小さな値になります。 そこでa=2から始めてaを増やしていき、F(a - 1,(a-1)(b-1),α/2) ≦ F_oLになる時のaを求めれば良いことになります。 そしてaが求まれば、F_oとF(a - 1,(a-1)(b-1),1-α/2)から信頼区間の上限値ICC(3,1)_Uを求めることができます。

例えばICC(3,1) = 0.95、ICC(3,1)_L = 0.9、b = 2、信頼係数 = 0.95(α = 0.05)として、aを求めると次のようになります。

　　

F(30,30,0.025) = 2.074、F(31,31,0.025) = 2.049　より　a = 32
F(31,31,0.975) = 0.488　より　

これと同様の方法で標本級内相関係数と信頼区間の上限からaを求めることもできます。 またこれと同様の方法で他の級内相関係数のaも求めることができます。

(注3)　ケンドールの一致係数は、フリードマンの検定における要因Bの寄与率と同じものです。 第4章で求めたフリードマンの検定における要因Bの寄与率は次のとおりでした。 (→4.2 多標本の計数値　(1)順序尺度　2)データに対応がある場合 (注4))

この場合は縦と横を入れ替えて要因Bを評価者にするので、計算する時に注意が必要です。 表5.4.3のデータについて実際に計算してみましょう。

T₁ = 3　T₂ = 7　T₃ = 9　T₄ = 11 　T₅ = 15　T₆ = 18　T₇ = 22 　T₈ = 25　T₉ = 29　T₁₀ = 26
　　K = 1
　　

(注4)　一般的な一致係数κは、b人の評価者がn例の被験者をc種類に分類した時の一致度を計算します。 その計算法は反復計算を必要とする非常な複雑なものなので、普通はb = 2として2人の評価者の一致係数を計算します。 その場合、まず最初に2人の評価者が評価したデータを次のような分割表にまとめます。

この表を基にして一致係数κは次のように計算します。

　　 　　
完全一致率：
偶然一致する確率：

検定用分散： 　　推定用分散：
＞ t(∞,α)の時、有意水準100α％で有意
※検定用分散として次のような近似式が使われることがある。

表5.4.4と表5.4.5のデータについて実際に計算してみましょう。

○表5.4.4
　　
p_c = 0.5×0.5 + 0.5×0.5 = 0.5 　　
検定用分散：
検定：
推定用分散：
95％信頼区間： 　　
○表5.4.5
　　 　　
　　 　　
　　p_c = 0.43×0.29 + 0.38×0.55 + 0.19×0.16 = 0.3641

検定用分散：
検定：
推定用分散：
95％信頼区間： 　　

分類の数が2つだけの時、κは次のような式で求められます。

また(注1)より、分類の数が2つだけの時の順位相関係数r_s、四分点相関係数(φ係数)、エーベルの級内相関係数r₁₁ = ICC(3,1)は次のようになります。 (→5.3 計数値の相関分析と回帰分析)

　　(r_V：分散一致係数)

これらの式からn₁₁ = n₂₂、n₁₂ = n₂₁の時、次のようにκは順位相関係数、四分点相関係数、エーベルの級内相関係数と一致することがわかります。

κの値がわかっていると、2人の評価者の評価が偶然一致する確率p_cから完全一致率p₀を求めることができます。 そして上記のようにκは四分点相関係数と近似するので、2つの評価者の間に相関がある時、相関係数と両者の評価から完全一致率を近似的に求めることができます。

この関係を利用すると、2つの項目の間に関連性がある時に2つの項目の正常／異常が一致する確率を近似的に求めることができます。

(注5)　重み付き一致係数κ_wは表5.4.8を基にして次のように計算します。

行列の重み：
　　

検定用分散： 　　推定用分散：
＞ t(∞,α)の時、有意水準100α％で有意

表5.4.5のデータについて実際に計算してみましょう。

w₁₁ = 1 　　w₁₂ = w₂₃ = w₂₁ = w₃₂ = 0.5 　　w₃₁ = w₁₃ = 0



検定用分散：
検定： ＜ t(∞,0.05) = 1.960
推定用分散：
95％信頼区間：