玄関雑学の部屋雑学コーナーベクトルと行列

1.ベクトルと行列の定義

1) ベクトル

共通の要因を持つひとまとまりの数字を縦か横に並べ、括弧で囲んだものを「ベクトル(vector)」といいます。 例えば若夫さん、中夫さん、老夫さんという3名の人の年齢を縦に並べ、





20
30
40




…若夫さん
…中夫さん
…老夫さん
  年齢ベクトル

とすれば、これは年齢という共通の要因を持つ1つのベクトルになります。 また若夫さんの年齢と体重を横に並べ、

'=2060  人ベクトル
年齢体重

とすれば、これは同じ人という共通の要因を持つ1つのベクトルになります。 つまりベクトルとは共通の要因を持つ一連のデータの集まりであると考えれば、感覚的に理解しやすいと思います。

ベクトルをアルファベットなどで代数的に表す場合、通常は上式ののように太字の小文字で表し、普通の数字すなわち「スカラー(scalar)」と区別します。 ベクトルに含まれるスカラーを「成分(component)」または「要素(element)」といい、成分の数を「ベクトルの次元(dimension)」、成分がn個のベクトルを「n次元ベクトル(n-dimensional vector)」といいます。 そして年齢ベクトルのように成分を縦に並べたものを「列ベクトル(column vector)」または「縦ベクトル」、人ベクトル'のように成分を横に並べたものを「行ベクトル(row vector)」または「横ベクトル」といい、両者を区別するために行ベクトルの右肩には「'」を付けます。

ベクトルを一般化して表現する時は、成分に添え字iを付けて次のように表します。









x1


xi


xn








  …… (1.1)

また全ての成分が0のベクトルを「ゼロベクトル(zero vector)」といい、n次元のゼロベクトルを「n」と書きます。 これはスカラーの世界でいえば「0」に相当するベクトルです。 さらに1つの成分だけが1で他は全て0のベクトルを「基本ベクトル(elementary vector)」といい、これはスカラーの世界の「1」に相当します。 ただしスカラーの「1」が1種類しかないのに対して、n次元の基本ベクトルは次のようにn種類つまり次元の数だけあります。

1





1

0

0






 … i





0

1

0






 … n





0

0

1






  …… (1.2)

2) 行列

若夫さん、中夫さん、老夫さんの年齢と体重を一覧表形式で表しますと次表のようになり、これは年齢ベクトルyと、体重ベクトルwを横に並べたものとも、3個の人ベクトル1'、2'、3'を縦に並べたものとも考えられます。

人\項目年齢体重
若夫2060
中夫3055
老夫4050




20 60
30 55
40 50




=[y w]=





1'

2'

3'






y



20
30
40




 w



60
55
50




 1'=[20 60]

 2'=[30 55]

 3'=[40 50]
 

このように列ベクトルを横に、あるいは行ベクトルを縦にいくつか並べたものを「行列(matrix)」といい、縦の成分数nと横の成分数pによって「(n, p)型の行列」または「(n×p)の行列」と表現します。 ベクトルを共通の要因を持つ一連のデータの集まりとすれば、行列は一連のデータを一定の規則に従って並べた一覧表ととらえることができます。 行列を代数的に表す場合、通常は上式ののように太字の大文字で表し、ベクトルと区別します。 また列ベクトルは(n, 1)型の行列、行ベクトルは(1, p)型の行列と考えれば、ベクトルも行列と同じように扱うことができます。

行列の列ベクトルを行ベクトルにした行列、つまり縦と横の成分を入れ換えた行列を「転置行列(transposed matrix)」といい、「'」または「t」と書きます。 これは、次のように一覧表の縦と横を入れ替えたものに相当します。

項目\人若夫中夫老夫
年齢203040
体重605550
'=


20 30 40
60 55 50



=[1 2 3]=



y'

w'




行列を一般化して表現する時は、成分に添え字i、jを付けて次のように表します。 添え字は最初のものが行番号を、次のものが列番号を表します。









x11


xi1


xn1






x1j


xij


xnj






x1p


xip


xnp








=[1jp   …… (1.3)
'=







x11


x1j


x1p






xi1


xij


xip






xn1


xnj


xnp
















1'


j'


p'








  …… (1.4)

縦と横の成分数が等しい(n, n)型の行列を「n次の正方行列(square matrix)」といい、その対角線の位置にある成分を「対角成分(diagonal component)」といいます。









x11


xi1


xn1






x1j


xii


xni






x1n


xin


xnn








  …… (1.5)

ベクトルと同様に、全ての成分が0の行列を「ゼロ行列(zero matrix)」といい、(n, p)型のゼロ行列を「n,p」と書きます。 また対角成分だけが1で他は全て0の正方行列を「単位行列(unit matrix)」といい、n次の単位行列を「n」と書きます。 単位行列は基本ベクトル1nを並べたものに相当します。

n=[1in]=





1

0

0




0

1

0




0

0

1






  …… (1.6)

単位行列のように、対角成分を中心として行と列の添え字を入れ替えた成分が等しい正方行列、つまり元の行列と転置行列が等しい正方行列を「対称行列(symmetric matrix)」といいます。 対称行列は応用範囲の広い重要な行列です。









x11


xi1


xn1






x1i


xii


xni






x1n


xin


xnn








'  (xij=xji)   …… (1.7)