ベクトルと行列　ベクトル空間

ベクトルと行列を直感的に理解するには、座標系による幾何学的表現が役に立ちます。例えば2次元ベクトルｘとｙの第1成分を横軸に、第2成分を縦軸にして直交座標系で表現すると、図4.1のようにそれぞれ原点から点(1,2)、点(3,1)に向かって引いた矢印で表すことができます。

このようにベクトルを矢印で表現することのできる空間をベクトル空間(vector space)または線形空間(linear space)といい、「V」と書きます(本来はベクトルの集合そのものを「ベクトル空間」というのですが、空間にベクトルがあると幾何学的にとらえた方が理解しやすいと思います)。そしてベクトルの次元がnでその成分が全て実数の時、n次元(実)ベクトル空間(n-dimensional real vector space)といい「Ｒⁿ」と書きます。例えば図4.1はＲ²になり、つまりはごく普通の平面に相当します。

Ｒ²はごく普通の平面ですから、通常のユークリッド幾何学が成り立ちます。同様に、Ｒⁿではn次元に拡張したユークリッド幾何学が成り立ちます。そのためＲⁿのことをユークリッド(ベクトル)空間(Euclidean vector space)ともいい、通常の平面をn次元まで拡張したものに相当します。

図4.1に示したように、ベクトル空間Ｒ²ではベクトルの演算は次のように表現されます。まずベクトルの和は、ベクトルｘの終点にベクトルｙを平行移動し、原点からその終点に向かって引いた矢印になります。

またスカラーとベクトルの積は、ベクトルｘをその矢印の方向――これをベクトルの「正の方向」といいます――へ2倍に伸ばしたものになります。

Ｒ²をn次元に拡張したベクトル空間Ｒⁿでも、ベクトルの演算を同様に表現することができます。ただしnが4以上の時は、それを2次元の平面上にグラフ表示することはもちろん、頭の中でイメージすることさえ難しいと思います。そこで図1を見ながら、「何となくそんなもんか…」としたり顔をしておいてください。

2) ベクトルの大きさ

ここでベクトルの大きさを定義しておきましょう。図4.1からわかるように、ベクトルｘの長さはピタゴラスの定理から次のようになります。

これをベクトルの大きさ(length)またはノルム(norm)といい、「‖ｘ‖」と表します。 n次元ベクトルの大きさも同様に次のように定義され、これはピタゴラスの定理をn次元まで拡張したものになります。

nが1の時つまりスカラーの時、ベクトルの大きさはｘの絶対値｜ｘ｜になります。このことからベクトルの大きさが絶対値の自然な拡張になっていることがわかり、絶対値の記号「｜」に似せた「‖」という記号を用いる理由が納得できると思います。

また大きさが1のベクトルのことを単位ベクトル(unit vector)といいます。単位ベクトルの代表的なものとしては基本ベクトルｅ₁、…、ｅ_i、…、ｅ_nがあります。ゼロベクトルではないベクトルｘは、次のようにして単位ベクトルに変換することができます。

3) 内積の幾何学的解釈

次は内積について考えてみましょう。ベクトルの差および大きさと内積の定義から、次の式が成り立ちます。

ここで図4.2のようにベクトルｘとｙのなす角をθとすると、これら2個のベクトルによって形作られる三角形に余弦定理を適用して次のような関係が成り立ちます。

したがってベクトルｘとｙの内積は、ｘの先端からｙに垂線を下ろした時の影の長さ‖ｘ‖cosθを‖ｙ‖倍した値、つまりｘをｙ上に正射影した時の影の長さ‖ｘ‖cosθを‖ｙ‖倍した値になります。そしてこれは‖ｘ‖cosθを1辺とし、‖ｙ‖をもう1辺とした長方形の面積に相当します。そのためｙの大きさが1つまり単位ベクトルの時、内積はｘをｙ上に正射影した時の影の長さそのものになります。

‖ｙ‖が1ではない時の内積も‖ｘ‖cosθに‖ｙ‖を掛けることによって影の長さをｙの世界の単位に換算していると考えれば、面積ではなく長さと解釈することができます。つまり内積を求めるということは、あるベクトルを別のベクトルに射影して、その影の長さを求めていることに相当します。

ｘ'ｙ＝(ｘ, ｙ)＝0 なら θ＝90°、つまりベクトルｘとｙは直交する。

ゼロベクトルは座標軸の原点に相当し、

ｘ'０_n＝(ｘ, ０_n)＝0

より、ゼロベクトルは全てのベクトルと直交する(と定義する)。

ｘ'ｘ＝(ｘ, ｘ)＝‖ｘ‖‖ｘ‖cos(0)＝‖ｘ‖² ≧0　(正値性)

ｘ'ｘ＝(ｘ, ｘ)＝0 ならｘ＝０_n

ｘ'ｙ＝(ｘ, ｙ)＝(ｙ, ｘ)＝ｙ'ｘ　(対称性)

(aｘ＋bｙ, ｚ)＝a(ｘ, ｚ)＋b(ｙ, ｚ)　(双線形性：加法に関して分配律が成り立ち、かつスカラー係数が演算子の外に出せること)

‖ｘ＋ｙ‖≦‖ｘ‖＋‖ｙ‖　(三角不等式)

(ｘ, ｙ)² ≦(ｘ, ｘ)・(ｙ, ｙ)　(コーシー・シュワルツ(Cauchy-Schwarz)の不等式)

このようにベクトルを空間上の矢印に対応させて幾何学的に考えると、直観的にとらえやすく、数式の意味を理解しやすくしてくれます。ただし注意しなければならないことは、ベクトルは空間上の矢印に対応させて考えられますが、矢印として考えなければならないわけではないということです。 _(注１)

ベクトルと行列は共通の要因を持つ一連のデータの集まりにある種の線形演算を定義した線形代数という代数学の仲間であって、幾何学や物理学の仲間ではありません。ベクトルを矢印に対応させるのは、あくまでも数式の内容を直感的に理解しやすくするためにすぎません。ただ物理学分野では実在する力にベクトルを対応させ、線形代数を利用して自然現象を記述することが多く、ベクトルの演算定義も物理学に利用しやすいように決められてきました。そのため数学分野でも、ベクトルをあたかも実在するもののごとく矢印で表す風習が残っているのです。

この風習のせいで、我々が最初にベクトルを習う時にもいきなり恐ろしげな矢印を見せられ、

などと教えられてしまいます。何しろ感受性豊かな青春時代のことですから、不可解な矢印に生理的な恐怖心を抱いてしまい、ベクトル空間というマカ不思議な四次元空間で、オリに囲まれた哀れなスカラー達のまわりを鋭く尖った魔法の矢が飛びかう、などといった悪夢に夜な夜な苛まれることとなるのです。

ここらあたりで靴のかかとをカチンと合わせ、ベクトル空間の呪縛から逃れ、恐怖の固定観念を打ち破って、虹の彼方に飛び立とうではありませんか！ (この文章の意味がおわかりにならない方は、ジュディ・ガーランドが活躍する往年の名画「オズの魔法使い」を観ましょう！)

４．ベクトル空間

1) ベクトル空間とユークリッド空間

2) ベクトルの大きさ

3) 内積の幾何学的解釈