ベクトルと行列　ベクトルと行列の演算例

さて、数式の羅列に頭が痛くなったところで、ベクトルと行列の演算を利用してケーキを作る時の費用について具体的に計算してみましょう。まず最初に小麦粉200グラムだけを使って、味気ないケーキを作るとします。小麦の単価が1グラム0.1円だとすると、ケーキの費用は次のように計算できます。

材料(g)	：x＝200
単価(円／g)	：y＝0.1
費用(円)	：z＝xy＝200×0.1＝20

次に小麦粉200グラム、砂糖200グラム、卵3個を使って、多少それらしいケーキを作るとします。砂糖の単価は1グラム0.2円、卵の単価は1個30円とすると、ケーキの費用は次のように計算できます。

		小麦粉	砂糖	卵
		：	：	：
材料ベクトル：ｘ'＝	［	200	200	3	］

単価ベクトル：

費用：z＝ｘ'ｙ＝200×0.1 ＋ 200×0.2 ＋ 3×30＝20＋40＋90＝150

この多少それらしいケーキと小麦粉だけの味気ないケーキを一緒に表すと、次のようになります。

材料行列：

単価ベクトル：

費用ベクトル：

さらに別の店屋では小麦粉を1グラム0.2円、砂糖を1グラム0.1円、卵を1個20円で売っていたとすると、次のように表すことができます。

材料行列：

単価行列：

費用行列：

このように、ベクトルと行列を用いると全ての場合で次のように書き表すことができます。

Ｚ(費用)＝Ｘ(材料)×Ｙ(単価)

実際の計算量が減るわけではありませんが、こうすることによって多くの場合を1つの式に統一することができ、思考の節約になります。これはケーキの費用計算に役立つばかりでなく、同じような性格の理論や法則を1つに統一して理解する時にも非常に役立つことです。

科学で用いられる記号や数式の形式が、科学理論の理解や発展の大きなキーポイントになることはよく知られた事実です。例えばアラビア数字(算用数字)が数学を始めとして各種の分野で果している大きな役割や、原子記号が化学や物理学で果している重要な役割を考えてみれば、誰でも成程と納得していただけるでしょう。

アラビア数字を用いた位取りによるインド記数法は、あまりに当たり前になってしまっていて、ともすればその恩恵を忘れがちです。しかし古代ギリシャやローマで幾何学に比べて代数学がほとんど発達しなかった原因の1つに、彼等がこのインド記数法を知らなかったことが挙げられているほどなのです。

ベクトルと行列の演算規則は、このようにケーキの費用を計算する時に便利なように定義された……というわけではなく、ケーキの費用計算のように、ある値(ケーキの場合は費用)とある値(材料または単価)の間に直線的な関係(線形関係)がある時の計算に便利なように定義されています。そのためベクトルと行列を一緒にして線形代数(linear algebra)ということがあります。

実世界では、例えば小麦粉を沢山買うと値引きがあるとか、小麦粉と砂糖を一緒に買うとおまけに卵がついてくるといった主婦向けのサービスがあり、線形関係が成り立たない「非線形」なことがままあります。しかしたいていの場合は近似的に線形関係が成り立つので、ベクトルと行列は色々な場面に応用することができます。

2) ベクトルと行列の演算定理

前章のような演算定義から、次のようなことが成り立ちます。

a、b：スカラー
ｘ、ｙ、ｚ：n次元ベクトル
Ｘ、Ｙ、Ｚ：(n,p)型行列　Ａ、Ｂ：(p,q)型行列　Ｃ：(q,m)型行列

・ｘ＋０_n＝ｘ	・Ｘ＋０_n,p＝Ｘ
・1ｘ＝ｘ	・1Ｘ＝Ｘ
・ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ	・Ｘ＋Ｙ＝Ｙ＋Ｘ	(交換律)
・ｘ＋(ｙ＋ｚ)＝(ｘ＋ｙ)＋ｚ	・Ｘ＋(Ｙ＋Ｚ)＝(Ｘ＋Ｙ)＋Ｚ	(結合律)
・(ab)ｘ＝a(bｘ)	・(ab)Ｘ＝a(bＸ)	(結合律)
・a(ｘ＋ｙ)＝aｘ＋aｙ	・a(Ｘ＋Ｙ)＝aＸ＋aＹ	(分配律)
・(a＋b)ｘ＝aｘ＋bｘ	・(a＋b)Ｘ＝aＸ＋bＸ	(分配律)
・ｘ'０_n＝(ｘ, ０_n)＝0	・Ｘ０_p,q＝０_n,q
	・Ｉ_nＸ＝ＸＩ_p＝Ｘ
	・(ＸＡ)Ｃ＝Ｘ(ＡＣ)	(結合律)
・ｘ'(ｙ＋ｚ)＝ｘ'ｙ＋ｘ'ｚ	・Ｘ(Ａ＋Ｂ)＝ＸＡ＋ＸＢ	(分配律)
・(ｘ＋ｙ)'ｚ＝ｘ'ｚ＋ｙ'ｚ	・(Ｘ＋Ｙ)Ａ＝ＸＡ＋ＹＡ	(分配律)
・ｘ'ｙ＝(ｘ, ｙ)＝(ｙ, ｘ)＝ｙ'ｘ	・(ＸＡ)'＝Ａ'Ｘ'	(交換律は成り立たない！)
	・Ｘ'Ｘ＝［Ｘ'Ｘ］'	(［Ｘ'Ｘ］はｐ次対称行列になる)
・ｘ'Ａｘ＝tr(Ａｘｘ')		(Ａ：n次対称行列)
・tr(Ａ')＝tr(Ａ)		(Ａ：n次正方行列)
・tr(aＡ)＝a tr(Ａ)	・tr(Ａ+Ｂ)＝tr(Ａ)+tr(Ｂ)	(Ａ、Ｂ：n次正方行列　トレースの線形性)
・tr(ＡＢ)＝tr(ＢＡ)		(Ａ、Ｂ：n次正方行列　トレースの交換律)
・tr(ＡＢＣ)＝tr(ＢＣＡ)＝tr(ＣＡＢ)	・Ａ→Ｂ、Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ａ	(Ａ、Ｂ、Ｃ：n次正方行列　トレースの循環性)

3) ベクトルと行列の微分

ついでにベクトルと行列の微分規則を簡単に説明しておきましょう。一般に多変数関数をベクトルの関数と考えると、次のように表すことができます。