玄関雑学の部屋雑学コーナーベクトルと行列

3.ベクトルと行列の演算例

1) ベクトルと行列を利用した演算例

さて、数式の羅列に頭が痛くなったところで、ベクトルと行列の演算を利用してケーキを作る時の費用について具体的に計算してみましょう。 まず最初に小麦粉200グラムだけを使って、味気ないケーキを作るとします。 小麦の単価が1グラム0.1円だとしますと、ケーキの費用は次のように計算できます。

材料(g):x=200
単価(円/g):y=0.1
費用(円):z=xy=200×0.1=20

次に小麦粉200グラム、砂糖200グラム、卵3個を使って、多少それらしいケーキを作るとします。 砂糖の単価は1グラム0.2円、卵の単価は1個30円としますと、ケーキの費用は次のように計算できます。

小麦粉砂糖
材料ベクトル:'=2002003
単価ベクトル:



0.1
0.2
30




…小麦粉
…砂糖
…卵

費用:z='=200×0.1 + 200×0.2 + 3×30=20+40+90=150

┌——————0.1
|  ┌———0.2
|  | ┌—30
|  | |
|  | |
'=[200 200 3]200×0.1+200×0.2+3×30=150=z

この多少それらしいケーキと、小麦粉だけの味気ないケーキを一緒に表しますと次のようになります。

小麦粉砂糖
材料行列:


200
200
0
200
0
3



…味気ないケーキ
…らしいケーキ
単価ベクトル:



0.1
0.2
30




…小麦粉
…砂糖
…卵
費用ベクトル:Xy


200×0.1 + 0×0.2 + 0×30
200×0.1 + 200×0.2 + 3×30



        =


20
150



…味気ないケーキ
…らしいケーキ

さらに、別の店屋では小麦粉を1グラム0.2円、砂糖を1グラム0.1円、卵を1個20円で売っていたとしますと、

小麦粉砂糖
材料行列:


200
200
0
200
0
3



…味気ないケーキ
…らしいケーキ
店1店2
単価行列:



0.1
0.2
30
0.2
0.1
20




…小麦粉
…砂糖
…卵
費用行列:XY


20+0+0
20+40+90
40+0+0
40+20+60



店1店2
      =


20
150
40
120



…味気ないケーキ
…らしいケーキ

このように、ベクトルと行列を用いますと全ての場合で、

(費用)=(材料)×(単価)

と書き表すことができます。 実際の計算量が減るわけではないのですが、こうすることによって多くの場合を1つの式に統一することができ、「思考の節約」になります。 これはケーキの費用計算に役立つばかりでなく、同じような性格の理論や法則を1つに統一して理解する時にも非常に役立つことです。

科学で用いられる記号や数式の形式が、科学理論の理解や発展の大きなキーポイントとなることはよく知られた事実です。 例えば、アラビア数字(算用数字)が数学を始めとして各種の分野で果している大きな役割や、原子記号が化学や物理学で果している重要な役割を考えてみれば、誰でも成程と納得していただけるでしょう。

アラビア数字を用いた位取りによるインド記数法は、あまりに当たり前となってしまっていて、ともすればその恩恵を忘れがちですが、古代ギリシャやローマで幾何学に比べて代数学がほとんど発達しなかった原因の1つに、彼等がこのインド記数法を知らなかったことが挙げられているほどなのです。

ベクトルと行列の演算規則は、このようにケーキの費用を計算する時に便利なように定義された……というわけではなく、ケーキの費用計算のように、ある値(ケーキの場合は費用)とある値(材料または単価)の間に直線的な関係(線形関係)がある時の計算に便利なように定義されています。 このため、ベクトルと行列を一緒にして「線形代数(linear algebra)」ということがあります。

実世界では、例えば小麦粉を沢山買うと値引きがあるとか、小麦粉と砂糖を一緒に買うとおまけに卵がついてくるといった主婦向けのサービスがあり、線形関係が成り立たない「非線形」なことがままあります。 しかしたいていの場合は近似的に線形関係が成り立ちますので、ベクトルと行列は色々な場面に応用することができます。

2) ベクトルと行列の演算定理

前章のような演算定義から、次のようなことが成り立ちます。

a、b:スカラー
:n次元ベクトル
:(n, p)型行列 :(p, q)型行列 :(q, m)型行列

n n,p
・1 ・1
(交換律)
+()=()+ +()=()+ (結合律)
・(ab)=a(b) ・(ab)=a(b) (結合律)
・a()=a+a ・a()=a+a (分配律)
・(a+b)=a+b ・(a+b)=a+b (分配律)
'n=(, n)=0 p,qn,q
np
・()() (結合律)
'()='' ()= (分配律)
・()''' ・() (分配律)
'=(, )=(, )=' ・()'='' (交換律は成り立たない!)
'=[']' ([']はp次対称行列になる)

3) ベクトルと行列の微分

ついでにベクトルと行列の微分規則を簡単に説明しておきましょう。 一般に、多変数関数をベクトルの関数と考えますと、

y=f(x1,…,xj,…,xp)=f()

と表すことができます。 その偏微係数を並べたベクトルを「偏微係数ベクトル」または「勾配ベクトル」または「傾斜ベクトル」といい、

∂f()
———







∂f()/∂x1

∂f()/∂xj

∂f()/∂xp














∂/∂x1

∂/∂xj

∂/∂xp







f()=f()=grad f()=  …… (3.1)

:ナブラ(nabla)、アトレッド(atled 、deltaの逆)、ハミルトン(Hamilton)演算子などと呼ばれる

と表します。 これは微係数の多変数への拡張に相当しますが、スカラー関数をベクトルで偏微分するとベクトルになる点に注意しましょう。 同様にスカラー関数を行列で偏微分すると、結果は偏微係数を並べた行列になります。

またスカラー関数をベクトルで2階微分すると、次のように2次の偏微係数を並べた対称行列になります。

2f()
—————
'

———







2f()/(∂x1)2

2f()/(∂xi∂x1)

2f()/(∂xp∂x1)
…∂2f()/(∂x1∂xj)…

…∂2f()/(∂xi∂xj)…

…∂2f()/(∂xp∂xj)…
2f()/(∂x1∂xp)

2f()/(∂xi∂xp)

2f()/(∂xp)2







'  …… (3.2)

この行列は「2次微係数行列」または「ヘス(Hess)の行列」または「計量行列」と呼ばれます。 計量行列と呼ばれるわけは、この行列が曲面の曲率に関係したものになり、曲面上の距離を計量する時に重要な役目を果たすからです。

p次元係数ベクトルとp次元変数ベクトルの内積は、

f()='=a1x1+…+ajxj+…+apxp

と、の関数と考えられます。 この関数をの成分xjで偏微分すると、

∂f()/∂xj=aj

となりますので、勾配ベクトルは、

∂f()
———
∂(')
————








a1


aj


ap








となります。 同様の計算より、次のような式が成り立ちます。