玄関雑学の部屋雑学コーナーベクトルと行列

8.行列式と外積

1) 行列式

n次の正方行列の成分を縦棒で囲み、次のような計算を定義したものを「行列式(determinant)」といいます。

|=det()=






x11


xi1


xn1






x1i


xii


xni






x1n


xin


xnn







   =  
Σ
σ
ε(σ)x1σ(1)x2σ(2)…xnσ(n)  
Σ
σ
ε(σ)x1・i1x2・i2…xn・n1   …… (8.1)

σ(i):置換。添字i(i=1,2,…,n)を1〜nのうちの別の添字で置きかえたもの。
上式でi1〜inは1〜nの1つの順列であり、上式の項は全部でn!個ある。
置換のうち、1組の添字iとjを入れかえただけのものを「互換」という。 置換は互換を何回か行ったものであり、偶数回行ったものを「偶置換」、奇数回行ったものを「奇置換」という。
  σが偶置換の時:ε(σ)=1
  σが奇置換の時:ε(σ)=-1

・サルス(Sarrus)の公式(関−サルスの公式)…成分をたすき掛けし、\方向は正、/方向は負にして合計する。 ただしこの公式は4次以上の行列式には適用できない。

|=det()=


x11

x21
x12

x22



=x11・x22−x12・x21   …… (8.2)
|=det()=




x11

x21

x31
x12

x22

x32
x13

x23

x33





   =(x11・x22・x33+x12・x23・x31+x13・x21・x32)
    −(x13・x22・x31+x12・x21・x33+x11・x23・x32)  …… (8.3)

何だかやたらと複雑でわけのわからない定義だと思いますが、この定義どおり計算することはほとんどないのでご安心ください。

n次の行列式から第i行と第j列を取り除いて作った(n−1)次の行列式に(-1)i+jを掛けたものを、元の行列式の「(i, j)余因子(cofactor)」といいます。 ||の(i, j)余因子をXijと表しますと、

ij=(-1)i+j








x11


x(i-1)1

x(i+1)1


xn1








x1(j-1)


x(i-1)(j-1)

x(i+1)(j-1)


xn(j-1)
x1(j+1)


x(i-1)(j+1)

x(i+1)(j+1)


xn(j+1)








x1n


x(i-1)n

x(i+1)n


xnn









  …… (8.4)

となります。 この余因子を用いると、行列式を次のように展開することができます。

|=xi1・Xi1+…+xik・Xik+…+xin・Xin n
Σ
k=1
xik・Xik   …… (8.5)
|=x1j・X1j+…+xkj・Xkj+…+xnj・Xnj n
Σ
k=1
xkj・Xkj   …… (8.6)

(8.5)式を「||の第i行に関する展開」、(8.6)式を「||の第j列に関する展開」といい、これらの展開をサルスの公式が適用できるまで続けていけば、手計算によって行列式を求めることができます。 行列式には次のような性質があります。

行列式と余因子を利用すると、次のようにして逆行列を求めることができます。

-1 1
―――








11


1j


1n






i1


ij


in






n1


nj


nn









―――
  …… (8.7)

ij:||の(i, j)余因子
の「余因子行列(adjugate matrix)」または「随伴行列」。 || の余因子をそれぞれの成分の位置に埋め、それを転置した行列。

これもややこしい式ですので、例として、第7章で掃き出し法によって求めた逆行列をこの式を用いて求めてみましょう。





3
4
8
1
3
4
1
-1
1




|={3×3×1+4×4×1+8×(-1)×1}−{1×3×8+(-1)×4×3+1×4×1}
   =(9+16−8)−(24−12+4)=1 ((8.3)を適用)

11=(-1)2

3
4
-1
1


=3+4=7   X12=(-1)3

4
8
-1
1


=-(4+8)=-12
13=(-1)4

4
8
3
4


=16−24=-8   X21=(-1)3

1
4
1
1


=-(1−4)=3
22=(-1)4

3
8
1
1


=3−8=-5   X23=(-1)5

3
8
1
4


=-(12−8)=-4
31=(-1)4

1
3
1
-1


=-1−3=-4   X32=(-1)5

3
4
1
-1


=-(-3−4)=7
33=(-1)6

3
4
1
3


=9−4=5




7
-12
-8
3
-5
-4
-4
7
5




-1
―――




7
-12
-8
3
-5
-4
-4
7
5




行列式は連立方程式の解法に関連して工夫された演算子であり、行列との直接的な関係は逆行列以外にはあまりありません。 しかし物理学などではよく利用されますので、覚えておいても損はないでしょう。

行列式の理論は、連立方程式の解法に関連して江戸時代の天才的数学者である関孝和によって最初に発見され、その150年ほど後にヨーロッパで独自に発見されました。 行列式の理論を発見した時、関孝和はサルスの公式も発見していますので、日本の数学者の中にはサルスの公式を「関−サルスの公式」と呼ぶ人がいます。 僕もこの見解に賛成です。

ここで、逆行列を利用してn元連立1次方程式を解いてみましょう。 これは統計学分野でよく利用される方法です。 n元連立1次方程式、

a11x1+…+a1nxn=b1
 :    :
an1x1+…+annxn=bn

をベクトルと行列を用いて表現しますと、次のようになります。







a11



an1




a1n



ann






  





x1



xn






  





b1



bn






  …… (8.8)

が正則ならばその逆行列-1が存在しますから、それを両辺に左から掛けて、

-1-1
n-1  …… (8.9)

となり、このn元連立1次方程式はただ1組の解を持ちます。 この場合も掃き出し法を利用し、

n]=





a11



an1




a1n



ann




1



0




0



1




b1



bn






  …… (8.10)

と置いてa11〜annを軸にして掃き出せば、右端のベクトルが解ベクトルに変わります。 係数行列が特異なら、逆行列が存在せず不定解となります。 掃き出し法を利用したこの解法は、n元連立1次方程式の一般解を求める「クラメル(Cramer)の公式」、

xi 1
―――








 
a11



an1
 





 

b1



bn






 
a1n



ann
 








 
  …… (8.11)
の第i列目の成分ベクトルをと入れ代えた行列式

を一度に行ってしまう便利な方法です。

2) 外積

n次の正方行列をn個のn次元列ベクトルと考え、行列式をそれらのベクトルの積の一種と考えたものを「外積(exterior product)」といいます。

|=|1jn|=det(1jn)  …… (8.12)

例えば、次のようなベクトルの外積を計算してみましょう。





x1

x2








1

2




  



y1

y2








3

1




|=x1・y2−x2・y1=1×1−2×3=-5 ((8.2)を適用)
|=y1・x2−y2・x1=-(x1・y2−x2・y1)=-|
|=x1・y2−x2・y1=‖‖・‖‖・sinθ  …… (8.13)

図12のように、この外積は2次元ベクトル空間において原点、、[]で作られる平行四辺形の面積に、のなす角θが正(反時計回り)なら正の符号、負(時計回り)ならば負の符号を付けた値となります。 このように、外積は結果がベクトルになることから「ベクトル積(vector product)」ともいわれます。

同様に3つの3次元ベクトルの外積は、3次元ベクトル空間において原点、、[]、[]、[]、[]で作られる平行6面体の体積に、それらのベクトルの角度によって正・負の符号を付けたものとなります。

図12ベクトル空間での外積 図13外積の幾何学的解釈

一般にn個のn次元ベクトルの外積は、n次元ベクトル空間において、それらのベクトルを1つ以上結合した(2n−1)個のベクトルと、原点とによって作られる超立体の体積に、ベクトルの角度によって正・負を付けたものとなります。 そして図12からも直観的にわかると思いますが、n個のベクトルの中に同じ向きのものがあったり、他のベクトルの1次結合で表されるものがあったりしますと、超立体の体積は0となり外積も0となります。 つまり外積が0とならないベクトルの組は1次独立なベクトルの組、すなわちベクトル空間の基底なのです。 これが、行列が正則の時は行列式が0以外の値となり、行列が特異の時は行列式が0となる理由です。

外積は、磁場の中に電場が存在する時、それらの垂直方向に力場が生じる現象を記述するために工夫された演算子で、力学的には右ねじを回転した時に生ずる進む力のモーメントに相当します。 このため物理学以外ではあまり利用されませんが、物理学に興味のある人は覚えておくと便利です。

ちなみに内積は、力学的には、物体に対してある方向に力を加え、その物体がある方向にある距離だけ移動した時の仕事量に相当します。